Considere [math] \ mathop {\ mathrm {Perm}} (G) [/ math] – el conjunto de todas las bisecciones [math] G \ a G [/ math]. Es exactamente el conjunto de todas las permutaciones según la definición con la multiplicación definida por [math] (fg) (x): = f (g (x)) [/ math] que es asociativa como la composición de los mapas es asociativa. Entonces es un semigrupo. El mapa [math] e (x): = x [/ math] es una identidad aquí. Al considerar el conjunto de bisecciones [math] \ forall f \ in \ mathop {\ mathrm {Perm}} (G) \ exist f ^ {- 1} \ in \ mathop {\ mathrm {Perm}} (G): (ff ^ {- 1}) (x) = f (f ^ {- 1} (x)) = x = e (x) = [/ matemáticas]
[matemáticas] = f ^ {- 1} (f (x)) = (f ^ {- 1} f) (x) [/ matemáticas].
Entonces [math] \ mathop {\ mathrm {Perm}} (G) [/ math] es un grupo.
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Claramente [math] \ mathop {\ mathrm {Aut}} (G) [/ math] es un subconjunto de [math] \ mathop {\ mathrm {Perm}} (G) [/ math]. Entonces, todo lo que necesitamos es verificar si es un grupo.
- [matemática] \ forall f, g \ in \ mathop {\ mathrm {Aut}} (G) \ forall x, y \ in G (fg) (xy) = f (g (xy)) = f (g (x ) g (y)) = f (g (x)) f (g (y)) = (fg) (x) (fg) (y), (fg) (x ^ {- 1}) = f (g (x ^ {- 1})) = f (g (x) ^ {- 1}) = f (g (x)) ^ {- 1} = ((fg) (x)) ^ {- 1} [ /matemáticas]
- [matemáticas] f (f ^ {- 1} (x) f ^ {- 1} (y)) = f (f ^ {- 1} (x)) f (f ^ {- 1} (y)) = xy = f (f ^ {- 1} (xy)) \ Rightarrow f ^ {- 1} (xy) = f ^ {- 1} (x) f ^ {- 1} (y) [/ math]
como f es una bisección.
3. e es un automofismo.
QED
