Primero, digamos que solo queremos una función [math] f: [0, \ infty) \ to \ mathbb {R} [/ math] que satisface la ecuación funcional [math] f (x) = f (x-1) + f (x-2) [/ math] para todos [math] x \ geq 2 [/ math], es decir, ignoremos primero la parte “continua” de la pregunta. Entonces podemos simplemente tomar cualquier función [math] g: [0, 2) \ to \ mathbb {R} [/ math] alguna y definir
[matemáticas] f (x): = \ begin {cases} g (x) & \ text {if} x <2 \\ f (x-1) + f (x-2) & \ text {if} x \ geq 2 \ end {cases} [/ math]
y tendremos una función que satisfaga esta ecuación funcional. Además, esto obviamente nos da todas las funciones que satisfacen esta ecuación funcional, porque si tenemos esa función, podemos limitarla a [0, 2) y luego aplicar esta construcción para recuperarla.
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Bien, entonces, ¿qué debemos hacer para garantizar que dicha función sea continua? Bueno, primero que nada g obviamente necesita ser continuo. Ahora, si este es el caso, entonces g será automáticamente continuo en todos los no enteros (ya que la suma de funciones continuas es continua), y además será continua desde la derecha en todas partes. Por lo tanto, solo queda determinar qué tendremos que hacer para que f sea continua desde la izquierda en valores enteros.
Supongamos que tenemos algo de [math] 0 \ leq \ varepsilon <1 [/ math]. Entonces, para un número entero [math] n [/ math], tenemos
[matemáticas] f (n – \ varepsilon) = f (n-1- \ varepsilon) + f (n-2- \ varepsilon) [/ math]
[matemáticas] = 2 f (n-2- \ varepsilon) + f (n-3- \ varepsilon) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 3 f (n-3- \ varepsilon) + 2 f (n-4- \ varepsilon) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 5 f (n-4- \ varepsilon) + 3 f (n-5- \ varepsilon) = \ cdots [/ math]
donde en cada paso estamos ampliando el primer término usando la ecuación funcional. Es fácil demostrar por inducción que el patrón aquí es
[matemáticas] f (n- \ varepsilon) = F_m \; f (nm- \ varepsilon) + F_ {m-1} \; f (nm-1- \ varepsilon), [/ math]
donde [math] F_m [/ math] es el m -ésimo número de Fibonacci, siempre que [math] m \ leq n-2 [/ math]. En particular, tomar [matemáticas] m = n-2 [/ matemáticas] da
[matemáticas] f (n- \ varepsilon) = F_ {n-2} g (2- \ varepsilon) + F_ {n-3} g (1- \ varepsilon) [/ math]
Entonces vemos que
[matemáticas] \ lim \ limits_ {s \ to n ^ -} f (s) = F_ {n-2} \ lim_ {s \ to 2 ^ -} g (s) + F_ {n-3} g (1 )[/matemáticas]
(ya que g es continuo). Por otro lado, tomar [math] \ varepsilon = 0 [/ math] nos da
[matemáticas] f (n) = F_ {n-2} \; f (2) F_ {n-3} \; g (1) [/ matemáticas]
Al establecer estas expresiones iguales, vemos que f es continua iff
[matemáticas] \ lim \ límites_ {s \ a 2 ^ -} g (s) = f (2) = g (1) + g (0) [/ matemáticas]
En otras palabras, las funciones continuas que satisfacen su ecuación funcional corresponden exactamente a las funciones continuas [math] g: [0, 2] \ to \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] g (2) = g (1 ) + g (0) [/ matemáticas].
Esa ya es una descripción bastante buena, pero digamos cómo hacerla perfecta. Primero, escojamos dos números [math] \ alpha, \ beta [/ math] para que sean [math] g (0) [/ math] y [math] g (1) [/ math], respectivamente. Entonces estamos buscando funciones [math] g: [0, 2] \ to \ mathbb {R} [/ math] con
[matemática] g (0) = \ alpha, \ qquad g (1) = \ beta, \ qquad g (2) = \ alpha + \ beta [/ math].
Supongamos que tenemos dos funciones de este tipo [matemáticas] g_1, g_2 [/ matemáticas]. Entonces tendríamos
[matemáticas] (g_1 – g_2) (0) = 0, \ qquad [/ matemáticas] [matemáticas] (g_1 – g_2) (1) = 0, \ qquad [/ matemáticas] [matemáticas] (g_1 – g_2) (2 ) = 0. [/ Matemáticas]
Por el contrario, si g satisface nuestra condición y [math] h: [0, 2] \ to \ mathbb {R} [/ math] es cualquier función que desaparece en 0, 1 y 2, entonces claramente g + h satisface nuestra condición.
Entonces tomemos una buena función canónica que satisfaga nuestra condición, digamos
[matemáticas] g _ {\ alpha, \ beta} (x): = \ Re \ left (\ left [\ dfrac {(\ phi-1) \ alpha + \ beta} {\ phi – \ overline {\ phi}} \ right] \ phi ^ x + \ left [\ dfrac {\ phi \ alpha – \ beta} {\ phi – \ overline {\ phi}} \ right] \ overline {\ phi} ^ x \ right) [/ math ]
dónde
[matemáticas] \ phi: = \ dfrac {1 + \ sqrt {5}} {2}, \ qquad \ overline {\ phi}: = \ dfrac {1 – \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]
son las dos raíces de la ecuación [matemáticas] x ^ 2 = x + 1 [/ matemáticas] correspondientes a la relación de recurrencia [matemáticas] F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_n. [/ matemáticas]
Entonces las funciones que satisfacen sus condiciones corresponden precisamente a las funciones de la forma
[matemáticas] g _ {\ alpha, \ beta} + h [/ matemáticas]
donde [math] \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] h: [0, 2] \ to \ mathbb {R} [/ math] es una función continua tal que [math ] h (0) = h (1) = h (2) [/ matemáticas].
O al menos esa es la idea. Puede que haya estropeado algo de álgebra en algún lugar del camino. Si es así, hágamelo saber en los comentarios.
Este enfoque también es bueno si queremos considerar funciones que no solo son continuas sino, por ejemplo, diferenciables o analíticas. Pero lo dejaré como ejercicio para el lector.
