Usamos la fórmula anterior, llamada Diferencia central, porque teóricamente converge más rápido a la derivada verdadera a medida que reduce [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas] en comparación con la última fórmula de Diferencia directa (como explica Kostis).
Estas dos fórmulas son fórmulas de Diferencia Finita y técnicamente puedes crear un número infinito de estas fórmulas dependiendo del tipo de tasa de convergencia que desees, el número de evaluaciones de funciones que estás de acuerdo con el cálculo derivado y las “ubicaciones” en las que muestreas la función a.
Sin embargo, una cosa a tener en cuenta es que la precisión finita en realidad hace que cada esquema de diferencia finita obtenga una precisión máxima en algún valor para [math] \ epsilon [/ math] y en realidad empeora si sigue reduciendo [math] \ epsilon [ /matemáticas]. Entonces, aunque a veces la tasa de convergencia es importante, es importante saber si un esquema puede lograr un error general más bajo debido a que puede usar un valor más pequeño para [math] \ epsilon [/ math].
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Por ejemplo, si somos libres de ver [math] f (\ cdot) [/ math] en función de variables complejas, en realidad puede derivar la siguiente fórmula para una derivada en el valor real [math] x [/ math] :
[matemáticas] \ begin {align} f ^ {‘} (x) \ approx \ frac {\ text {Im} [f (x + i \ epsilon)]} {h} + O (\ epsilon ^ 2) \ tag * {} \ end {align} [/ math]
donde realmente damos un paso en la dirección compleja con el tamaño del paso [math] \ epsilon [/ math] para llegar a nuestra aproximación. Esta fórmula, como se muestra, converge a una velocidad que es la misma que la fórmula de Diferencia central, ¡pero no requiere una resta! Debido a la precisión finita, este resultado en realidad hace que esta fórmula sea capaz de usar valores para [math] \ epsilon [/ math] que son mucho más pequeños que los permitidos para un esquema de Diferencia Central, ¡produciendo resultados más precisos! A continuación se muestra una imagen de muestra que demuestra esto:
Tenga en cuenta que la línea azul (Fórmula compleja) sigue convergiendo hasta que realmente deja de mostrar un valor a la izquierda de [math] \ epsilon = 10 ^ {- 7} [/ math]. Esto es en realidad porque esta fórmula obtuvo la derivada correcta para precisión de la máquina y devolvió un error de exactamente [matemáticas] 0 [/ matemáticas]! También tenga en cuenta que, como se mencionó anteriormente, la fórmula de la diferencia central tiene un pico (alrededor de [matemáticas] \ epsilon = 10 ^ {- 5} [/ matemáticas] en este caso) debido a problemas de precisión finita y aumenta el error a medida que uno continúa reducir el tamaño del paso.
Es bastante interesante cómo estas fórmulas realmente pueden hacer una diferencia dependiendo del tipo de precisión que le interese.
