Si [math] \ dfrac {7 + x} {14 + x + y} = \ dfrac {3} {8} [/ math] y [math] x + y \ gt 0 [/ math], ¿cómo muestro que cada par de enteros que admite esto viene dado por [math] (3n + 2, 5n + 8) [/ math] donde n es cualquier entero mayor que -1?

Al igual que con otras soluciones, comience escribiendo [matemáticas] 56 + 8x = 42 + 3x + 3y [/ matemáticas] o [matemáticas] 3y = 5x + 14 [/ matemáticas].

Mejor aún, [matemáticas] y = \ dfrac {3x + 12 + 2x + 2} {3} = x + 4 + \ dfrac {2x + 2} {3}. [/ Matemáticas]

Por inspección, [matemática] x = 2 [/ matemática] y [matemática] y = 8. [/ matemática] Así [matemática] x [/ matemática] es cualquier número de la forma [matemática] 2 + 3n [/ matemática] y [math] y [/ math] tiene la forma [math] 8 + 5n. [/ math]

Analicemos un poco la fórmula:

Primero transformamos la primera fórmula a esto:

8 (7 + x) = 3 (14 + x + y), lo que conduce a:

56 + 8x = 42 + 3x + 3y, cambiar y recopilar términos, conduce a:

5x + 56 = 3y + 42

y:

x = 0.6y – 2.8

Sin ninguna otra restricción, entenderemos que x e y pueden ser cualquier par de números que satisfagan la ecuación anterior (con un grado de libertad, es decir, x (o y) puede ser cualquier cosa, pero una vez x (o y ) se establece, la otra variable, y (o x) se decidirá de forma exclusiva). El par (3n + 2, 5n + 8) es solo un par así:

3n + 2 = 0.6 (5n + 8) – 2.8 =>

3n + 2 = 3n +4.8 – 2.8 =>

3n + 2 = 3n + 2.

n puede ser cualquier cosa.

Existe, por supuesto, la restricción de que x + y> 0, que básicamente significa:

3n + 2 + 5n + 8> 0 =>

8n + 10> 0 =>

8n> -10 =>

n> – 1.25

Como n ha sido designado un entero, el entero más cercano que satisface n> -1.25 es n = -1.

Entonces, en realidad, incluso si n = -1, el par (3n + 2, 5n + 8) aún cumple las condiciones de la pregunta (se ajusta a la ecuación y satisface la desigualdad).

Y mucho menos n> – 1.

Prueba completa.

Por cierto, es muy importante notar que el par (3n + 2, 5n + 8) no es más que un par de muchos otros muchos pares que satisfacen las condiciones anteriores.