Cómo calcular el valor del número de Euler elevado a una fracción sin calculadora

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Bueno, nunca he oído hablar de ningún método específico. Sin embargo, si tuviera que aproximar el valor del número de Euler elevado a cualquier potencia y se me dieran opciones para elegir, podría usar la serie exponencial y restringirla para que me dé la precisión deseada.

[matemáticas] e ^ x \ = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ cdots + \ frac {x ^ n} {n!} + \ cdots \ \ infty [/ math]

o [matemáticas] e ^ {- x} \ = 1 – x + \ frac {x ^ 2} {2!} – \ frac {x ^ 3} {3!} + \ cdots + (-1) ^ n \ frac {x ^ n} {n!} + \ cdots \ \ infty [/ math]

Dependería de las cifras significativas y / o decimales dados en las opciones. Supongamos que tenemos que aproximar [math] e ^ {0.4} [/ math] a 3 decimales. Luego, debemos entender que cada término agregado a la suma agrega cierto nivel de precisión al valor.

Por ejemplo:

[matemáticas] e ^ {0.4} \ = 1 + 0.4 \ aprox 1.4 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {0.4} \ = 1 + 0.4 + \ frac {0.4 ^ 2} {2!} \ aprox 1.48 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {0.4} \ = 1 + 0.4 + \ frac {0.4 ^ 2} {2!} + \ frac {0.4 ^ 3} {3!} \ aprox 1.4906 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {0.4} \ = 1 + 0.4 + \ frac {0.4 ^ 2} {2!} + \ frac {0.4 ^ 3} {3!} + \ frac {0.4 ^ 4} {4!} \ aproximadamente 1.4917 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {0.4} \ = 1 + 0.4 + \ frac {0.4 ^ 2} {2!} + \ frac {0.4 ^ 3} {3!} + \ frac {0.4 ^ 4} {4!} + \ frac {0.4 ^ 5} {5!} \ aprox 1.4918 [/ matemáticas]

Ahora, podría ver que el valor de hasta 3 decimales no se ve afectado por la adición de términos adicionales.

Entonces, podríamos aproximar el valor del número de Euler, elevado a una cierta potencia 0.4, a 3 decimales como 1.491

Además, depende de su comprensión de cuántos términos puede necesitar agregar para obtener un cierto nivel de precisión. Básicamente, es la rapidez con la que puedes acabar con el exponente y su división por un cierto factorial para estimar su precisión.

¡Espero que ayude!