No voy a mentir, cuando vi esta pregunta por primera vez, pensé “oh no, esto está muy por encima de mi cabeza. No puedo responder a esto”, pero no obstante creo que podría ser capaz de ayudar.
El seno hiperbólico (sinh) se define como [matemática] sinh (z) = (e ^ z – e ^ {- z}) / 2 [/ matemática], y el seno hiperbólico inverso ([matemática] asinh [/ matemática]) es solo el inverso de esto ([math] asinh (z) = y [/ math] tal que [math] sinh (y) = z [/ math]). En los complejos, esta función tiene muchos valores, pero en los reales no lo es, por lo que no tenemos que preocuparnos por eso.
De todos modos, [math] asinh (0.5) = asinh (1/2) [/ math] (llamemos a este valor z), y la definición de asinh junto con una pequeña manipulación algebraica nos da que [math] e ^ z – 1 / e ^ z = 1 [/ math], que nos dice que e ^ z es p tal que [math] p – 1 / p = 1 [/ math], de donde podemos deducir que [math] p – 1 = 1 / p [/ matemáticas]. Esto encaja casi exactamente con una de las propiedades definitorias de phi.
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Espero haber sido de servicio.
