Aquí hay una buena respuesta de Mark Lewko en Filosofía detrás del trabajo de Yitang Zhang sobre la Conjetura de los Primes Gemelos:
“Según los informes, el argumento de Zhang da un tamaño de brecha de alrededor de 70 millones. Mi sospecha es que esta brecha disminuirá rápidamente. En su teorema, Bombieri, Friedlander e Iwaniec dan un nivel de distribución alrededor
4/7, donde (según estas notas ) Zhang parece estar trabajando con un nivel de distribución de la forma 1/2 + δ para δ en el orden de 1/1000, por lo que es probable que haya espacio para la optimización. Como punto de referencia si uno tuviera el nivel de distribución 55/100 (<4/7) en la conjetura de Elliot-Halberstram no modificada (sin el peso bien factorizable), Goldston, Pintz e Yildirim ofrecen infinitas brechas de tamaño inferiores a 2956.
Sin embargo, el problema de la paridad es ampliamente conocido por evitar que los enfoques de esta forma (al menos solos) obtengan un espacio menor que la longitud 6. Por supuesto, también hay más obstrucciones técnicas e incluso en la conjetura completa de Elliott-Halberstam uno solo puede obtener una brecha de 16 en la actualidad “.
Aquí hay otra explicación de una publicación invitada de Emily Riehl en Bounded Gaps Between Primes:
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La idea de Zhang está relacionada con el trabajo de Enrico Bombieri, John Friedlander y Henryk Iwaniec. Deje ϑ = 14 + ω donde ω = 11168 (que es “pequeño pero más grande que ϵ “). Luego defina λ ( n ) usando la misma fórmula que antes pero con una condición adicional en el índice d , a saber, que d divide el producto de los primos menos que xω . En otras palabras, solo sumamos d libre de cuadrados con factores primos pequeños.
El punto es que cuando d no es demasiado pequeño (digamos d > x 1/3) entonces d tiene muchos factores. Si d = p 1 ⋯ pb y R < d hay alguna a de modo que r = p 1 ⋯ pa < R y p 1 ⋯ pa +1> R. Esto da una factorización d = rq con R / xω < r < R que podemos usar para dividir la suma sobre d en dos sumas (sobre r y sobre q ) que luego se manejan usando técnicas cuyos nombres no reconocí.
¡Aquí hay herramientas adicionales de brechas limitadas entre números primos! :
- Ha habido muchas encuestas sobre el trabajo de Goldston, Pintz y Yıldırım, y en particular escribí un informe Bourbaki sobre el mismo , que puede ser interesante para quienes leen francés;
- Con respecto a la Kloostermania automórfica que entra en el círculo de ideas de Fouvry-Iwaniec y Bombieri-Friedlander-Iwaniec (aunque aparentemente no es necesaria para la prueba de Zhang …), escribí hace unos años, para un libro sobre el trabajo matemático de Poincaré , un recuento de las aplicaciones de la serie de Poincaré a la teoría analítica de números, que se utilizan para probar la fórmula de Kuznetsov;
- Fouvry ha escrito una encuesta Cinquante ans de théorie analytique des nombres desde el punto de vista de los métodos de tamizado, que analiza la filosofía de extender los rangos de exponentes de distribución para secuencias importantes, así como los pesos bien factorables de Iwaniec;
- Los fanáticos de las funciones de rastreo pueden recordar que noté en una publicación anterior (ver el final) que la suma exponencial de Friedlander-Iwaniec, estimada por Birch y Bombieri, es (para módulos principales) solo un caso especial de las “sumas de correlación” generales ”Que apareció en mi trabajo reciente con Fouvry y Ph. Michel , en particular, nuestros argumentos (basados en la transformación de Fourier teórica de la gavilla de Deligne, Laumon, Katz y otros) dan una prueba conceptual simple de esa estimación;
