Cómo encontrar trillizos pitagóricos con un número dado

Invocamos la propiedad de que todos los trillizos pitagóricos pueden expresarse en la forma [math] (m ^ 2 – n ^ 2, 2mn, m ^ 2 + n ^ 2) [/ math], con [math] m> n [/ math] para enteros [math] m, n [/ math].

Si su número es par, consideraremos 3 casos:

Caso 1.1: Tenemos que es de la forma [matemática] 2mn [/ matemática].

Al probar todos los valores de [matemáticas] m, n [/ matemáticas] que satisfacen, obtenemos los triples pitagóricos que satisfacen. por ejemplo, el número es 60, por lo que todas las [matemáticas] (m, n) [/ matemáticas] que satisfacen son [matemáticas] (30,1), (15,2), (10,3), (6,5) [ /matemáticas]. De esto, obtenemos todos los Triples pitagóricos en esta forma son [matemáticas] (899, 60, 901), (221, 60, 229), (91, 60, 109), (11, 60, 61) [/ matemáticas] .

Caso 1.2: Tenemos que tiene la forma [matemáticas] m ^ 2 – n ^ 2 [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que esta es una diferencia de cuadrados perfectos, por lo que se puede factorizar como [math] (m + n) (m – n) [/ math]. Tenga en cuenta que ambos corchetes tienen la misma paridad. Por lo tanto, dado que nuestro número es par, ambos corchetes deben ser pares, por lo que el número debe ser divisible por 4. Además, ambos corchetes deben tener valores separados. Una vez más, encontramos todas las soluciones utilizando los factores de este número. por ejemplo, el número es 60, por lo que todos sus factores en pares que son pares son [matemáticas] (30,2), (10,6) [/ matemáticas]. Esto da [matemática] m = 16, n = 14 [/ matemática] o [matemática] m = 8, n = 2 [/ matemática] por lo que los Triples pitagóricos que satisfacen son [matemática] (60, 448, 452), ( 60, 32, 68) [/ matemáticas].

Caso 1.3: Tenemos que es de la forma [matemáticas] m ^ 2 + n ^ 2 [/ matemáticas].

Este caso es mucho más difícil de resolver que los otros casos si tiene un gran número. Realmente, el método más simple es probar y error (a menos que desee intentar usar enteros gaussianos, en cuyo caso considera primos módulo 1 o 3 mod 4). por ejemplo, 60 no puede representarse como tal, por lo que no tiene soluciones. 50 por otro lado se puede representar como [matemáticas] 7 ^ 2 + 1 ^ 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] m = 7, n = 1 [/ matemáticas]. De esto, obtenemos 50, el Triple pitagórico es [matemáticas] (48, 14, 50) [/ matemáticas].

Sin embargo, a partir de esto, omitimos algunos números simplemente porque algunos triples no son primitivos, lo que resulta en integral [matemática] m, n [/ matemática]. Para esto, tenemos que verificar cada uno de los factores si ese número es mayor que 2, lo que hace que esto sea realmente exhaustivo. Similar ocurre para el caso impar.

Si su número es impar, consideramos solo 2 casos:

Caso 2.1: Que lo tenemos de la forma [math] m ^ 2 – n ^ 2 [/ math].

Factorizando una vez más, encontramos que todas las factorizaciones nos darán algo de triple. por ejemplo, el número es 15, entonces sus pares de factores son [matemática] (15, 1), (5, 3) [/ matemática], entonces tiene [matemática] m = 8, n = 7 [/ matemática] o [matemática ] m = 4, n = 1 [/ matemáticas]. De esto, obtenemos trillizos pitagóricos de [matemáticas] (15, 112, 113), (15, 8, 17) [/ matemáticas].

Caso 2.2: Tenemos que tiene la forma [matemática] m ^ 2 + n ^ 2 [/ matemática].

Una vez más implementamos prueba y error (o gaussiano, si realmente lo desea). por ejemplo, 15 no puede representarse como tal, pero 29 puede representarse como [matemática] 5 ^ 2 + 2 ^ 2 [/ matemática] entonces [matemática] m = 5, n = 2 [/ matemática]. De esto, obtenemos el Triple Pitágoras para 29 como [matemática] (21, 20, 29) [/ matemática].

Nuevamente, debemos verificar los factores en esto debido a esta estrategia implementada principalmente para Triples pitagóricos primitivos. Esta pregunta probablemente requiera un poco más de información, de lo contrario obtendría decenas a posiblemente cientos de Triples diferentes.

deja que el número dado sea un

entonces si un <3 entonces no se formarán trillizos

si a es par, entonces b = (a / 2) ^ 2 -1, c = b + 2

si a es impar, entonces b = (a ^ 2–1) / 2, c = b + 1

Para más detalles visite http://www.friesian.com/pythag.htm

Gracias por el A2A. Supongamos que se da la altura o la base.

Denotamos los lados por a, byc y consideremos que se da a.

a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2

a ^ 2 = c ^ 2-b ^ 2

Ahora, a ^ 2 = (c + b) (cb)

Ahora a ^ 2 puede factorizarse en innumerables números de formas (también se incluyen factores decimales. Por ejemplo, 25 = 2.5 * 10. Aquí, 2.5 es el factor decimal). Ahora iguale c + b y cb con cualquiera de los dos factorizar y resolver para b y c. Considere solo aquellas soluciones para las cuales b

Sea el número dado [math] n> 2 [/ math].

Para n pares, [matemática] n ^ 2 + ((n / 2) ^ 2–1) ^ 2 = ((n / 2) ^ 2 + 1) ^ 2 [/ matemática].

Para n impar, [matemáticas] n ^ 2 + ((n ^ 2–1) / 2) ^ 2 = ((n ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 [/ matemáticas].

Sharvil ha explicado trillizos pitagóricos basados ​​en myn

myn son números coprimos, de lo contrario no generamos un triplete primitivo

por ejemplo, en m = 6 n = 2

entonces m ^ 2- n ^ 2 = 32

m ^ 2 + n ^ 2 = 40

2mn = 24

que es solo un triángulo 3,4,5 con un factor de escala.

Entonces, cualquier número racional reducido m / n puede ser generado para generar trillizos pitagóricos.

Resultado anterior de Diophantus: si x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 con x, y, z enteros entonces

x = k (i ^ 2 – j ^ 2) = k (i – j) (i + j)

y = 2ijk

z = k (i ^ 2 + j ^ 2)

para algunos enteros i, j, k. Si solo desea triples pitagóricos “primitivos” (sin factor común), establezca k = 1 y asegúrese de que i y j son relativamente primos.

Digamos que quieres un 17 en el triple. Puede ser “z” ya que es 16 + 1 = 4 ^ 2 + 1 ^ 2 (no todos los números pueden desglosarse como una suma de cuadrados), entonces x = 16–1 = 15, e y es 2 veces 4 multiplicado por 1 es igual a 8. 17 no puede ser la “y” porque es impar, pero cualquier número par puede desglosarse como 2ijk con lo que sea i, j, k que desee. Cualquier número puede convertirse en la “x” en el triple pitagórico: aquí solo hay una posible factorización del primo 17, como 1 por 17, entonces k = 1, i + j = 17, ij = 1, por lo tanto i = 9 , j = 8, y y = 144, z = 145.

Prefiero este método, ya que puedes obtener todos los triples pitagóricos posibles con un lado.

[matemáticas] a = \ sqrt {nk} \ where \ n \ operatorname {mod} 2 = k \ operatorname {mod} 2 \ y \ n> k [/ math]

[matemáticas] b = \ frac {\ left (nk \ right)} {2} [/ math]

[matemáticas] c = \ frac {\ izquierda (n + k \ derecha)} {2} [/ matemáticas]

Dependiendo de cómo factorizas un ^ 2, obtendrás resultados diferentes.

He leído todas las fórmulas escritas aquí, pero no entiendo mucho ya que estoy en octavo grado. ¡Así que comencé a probar mis propias fórmulas y finalmente encontré una!

Incluso para:
2m, m [matemáticas] ^ 2-1, [/ matemáticas] m [matemáticas] ^ 2-1 [/ matemáticas]

Para impar:
m, (m [matemáticas] ^ 2-1) / 2, ([/ matemáticas] m [matemáticas] ^ 2-1) / 2 [/ matemáticas]

¿Cómo encuentro trillizos pitagóricos con un número dado?

A veces, un número puede ser parte de múltiples tríos. Por ejemplo, 5 es parte del triángulo 3,4,5 y el triángulo 5,12,13. Por lo tanto, no hay una ecuación que permita determinar cada triple pitagórico para un número dado.

Sin embargo, todavía podemos encontrar al menos 1 triple pitagórico reducido para la mayoría de los números. Dividiremos esto en casos de (la mayoría) números pares y números impares.

Impar:

Para encontrar un triple para cada número impar, consideraremos todos los triples de la forma [matemáticas] a, b, b + 1 [/ matemáticas]. Por el teorema de Pitágoras:

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = 2b + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ frac {a ^ 2-1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] b + 1 = \ frac {a ^ 2 + 1} {2} [/ matemáticas]

Si a es impar, entonces b y [math] b + 1 [/ math] son ​​números enteros, por lo que hemos encontrado lados de un triángulo rectángulo con longitudes de lado entero. Además, dado que b es relativamente primo para [matemáticas] b + 1 [/ matemáticas], este triple ([matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {a ^ 2-1} {2} [/ matemáticas] , [math] \ frac {a ^ 2 + 1} {2} [/ math]) es irreducible y, por lo tanto, es un triple pitagórico para cualquier a impar. ¡Agradable! Ahora, hagamos números pares:

Incluso:

Considere triángulos rectángulos con longitudes laterales de la forma [matemática] a, b, b + 2 [/ matemática]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = b ^ 2 + 4b + 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = 4b + 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ frac {a ^ 2} {4} -1 = (\ frac {a} {2}) ^ 2-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] b + 2 = (\ frac {a} {2}) ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

Si a es par, [math] \ frac {a} {2} [/ math] también es un número entero, por lo que b y b + 2 serían números enteros, por lo que hemos encontrado lados de un triángulo rectángulo para cada número entero par. Además, si a es múltiplo de cuatro, [matemáticas] (\ frac {a} {2}) ^ 2-1 [/ matemáticas] es impar, por lo que es relativamente primo para [matemáticas] (\ frac {a} { 2}) ^ 2 + 1 [/ math], haciendo así el triple ([math] a [/ math], [math] (\ frac {a} {2}) ^ 2-1 [/ math], [math ] (\ frac {a} {2}) ^ 2 + 1 [/ math]) irreducible.

Entonces, ahora tenemos un triple pitagórico reducido para cada número, excepto para los números pares que no son múltiplos de cuatro. Ahora preguntamos, ¿son los números pares no divisibles por 4 alguna vez parte de triples pitagóricos reducidos?

La respuesta, sorprendentemente, es no.

Examinaremos este problema en el módulo 8. Expresamos a como [matemática] 2n [/ matemática], donde n es impar, ya que este número no es divisible por 4. Si este triple se reduce, entonces debe ser cierto que exactamente 1 pata es par (ya que si una pata es par y la otra es impar, la hipotenusa es impar, y si ambas patas son pares, la hipotenusa es par, lo que significa que el triángulo no se reduce), entonces ambos lados de la el triángulo (c, d) debe ser impar. Ahora, podemos estudiar estas longitudes de los lados módulo 8:

[matemáticas] (2n) ^ 2 = 4n ^ 2 \ equiv {4} \ mod 8 [/ matemáticas]

[matemática] c ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4k ^ 2 + 4k + 1 [/ matemática]

[matemáticas] = 1 + 4 (k ^ 2 + k) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv {1} \ mod 8 [/ matemáticas]

Por la misma lógica, [math] d ^ 2 \ equiv {1} \ mod 8 [/ math]. Si a es una hipotenusa, entonces [matemáticas] a ^ 2 = c ^ 2 + d ^ 2 \ equiv {1 + 1 \ mod 8} \ equiv {2 \ mod 8} [/ matemáticas]. Sin embargo, [matemática] a ^ 2 \ equiv {4 \ mod 8} [/ matemática], por lo que llegamos a una contradicción, y a no puede ser una hipotenusa. Si a es una pierna, entonces, por una lógica similar a la anterior, la hipotenusa (ya sea c o d) es congruente con 5 mod 8, lo que también es una contradicción, por lo que a no puede ser una pierna del triángulo. ¡Espere! ¡Esto significa que no puede ser ninguno de los lados! Eso significa que un triple pitagórico reducido con un lado par no divisible por 4 es imposible.

Entonces, logramos encontrar un triple pitagórico reducido para cada número que podría ser parte de un triple reducido. Para números impares, este es el triplete [matemática] a [/ matemática], [matemática] \ frac {a ^ 2-1} {2} [/ matemática], [matemática] \ frac {a ^ 2 + 1} { 2} [/ math], y para números pares esto es [math] a [/ math], [math] (\ frac {a} {2}) ^ 2-1 [/ math], [math] (\ frac {a} {2}) ^ 2 + 1 [/ matemáticas]. Además, descubrimos que los únicos números que no forman parte de un triple pitagórico reducido son números pares que no son divisibles por cuatro, lo que demuestra que los triples anteriores sí explican todos los enteros positivos posibles.