¿Cómo puede 0.02 hacer una gran diferencia en una operación matemática? ¿Cómo es posible que 1.01 ^ 365 = 37.8, mientras que 0.99 ^ 365 = 0.03?

Si multiplica un número menor que 1 por sí mismo, se vuelve más pequeño.

Si multiplica 1 por sí mismo, sigue siendo el mismo.

Si multiplica un número mayor que 1 por sí mismo, se hace más grande.

Entonces, a caballo entre 1, tiene un valor cada vez más pequeño, y el otro se hace más y más grande. Repite esto cientos de veces, y la diferencia seguirá creciendo.

Una analogía física:

Tienes dos canicas. Los dejas caer para que estén uno al lado del otro, tocándose. Aterrizan en la cima de un techo, de modo que uno está a un lado y el otro está al otro lado. Ruedan en diferentes direcciones. La diferencia entre ellos era pequeña, pero posicionada en un lugar que aumentaría la diferencia con el tiempo.

Esta es también una propiedad clave de la teoría del caos; Hay clases enteras de sistemas donde una diferencia mínima en el punto de partida conducirá a resultados completamente diferentes más adelante. La diferencia inicial causa una diferencia mayor en los resultados, y esa diferencia da como resultado diferencias aún mayores a medida que continúa, y puede terminar con la diferencia de .0001 resultando en un resultado final drásticamente diferente.

Pensar geométricamente a veces ayuda a las personas a entender esto.

Imagina un cubo simple. Cada lado tiene 0.99 unidades de largo. El volumen total del cubo es 0.970299.

Está algo oculto en esta imagen, pero es ese cubo escondido. Esto no es a escala, pero imagina que expandes ese cubo en la dirección verde (a la izquierda). Eso agrega el volumen del espacio etiquetado como 1. Si esa expansión agrega 0.02 a un lado (haciéndolo 1.01 de largo), está agregando un volumen total de .99 * .99 * .02 = 0.019602. Ahora imagine que expande esta forma en la dirección azul (a la derecha). Esto agrega ambas piezas que ves etiquetadas como 2. Estás agregando más de lo que hiciste en la primera adición, porque estás agregando a una forma que ahora es mayor que 0.99 * 0.99. Estás agregando a algo que es 1.01 * 0.99. Su volumen agregado es 1.01 * 0.99 * .02 = 0.019998. No es mucho más grande que lo que agregaste la primera vez, pero es más grande. Ahora decides agregar a tu forma en la dirección naranja (arriba). Ahora está agregando las cuatro piezas etiquetadas como 3 (tenga en cuenta que en cada paso se duplica la cantidad de piezas que está agregando). Lo que está agregando tiene dimensiones de 1.01 * 1.01, por lo que su espacio agregado es 1.01 * 1.01 * .02 = 0.020402. De nuevo, no es enorme, pero más que cada uno de los pasos anteriores. Su volumen total ahora es 1.030301 (todo el cubo a la izquierda). Eso es un 6,18% más grande que el primer cubo, y solo has elevado estos números a una potencia de tres.

Se hace un poco más difícil pensar en esto en dimensiones más altas, pero espero que esto ayude a construir la intuición.

No es solo un caso de 0.02 que hace una gran diferencia, es una diferencia del 2% elevada a la potencia de 365 que está haciendo una gran diferencia.

Olvida el hecho de que uno se está haciendo más pequeño y el otro se está haciendo más grande por un momento. Intente comparar 1.01 y 1.03 con la potencia de 365 en su lugar.

1.01 ^ 365 = 37.8

1.03 ^ 365 = 48482.7

Aquí la diferencia es aún mayor, pero más fácil de entender.

1.03 / 1.01 es aproximadamente 1.02, por lo que para cada potencia la diferencia se hace más grande por un múltiplo de 1.02

1.02 ^ 365 = 1377, ¡entonces la respuesta final es más de 1000 veces más grande!

Todavía es solo una diferencia del 2%, pero cuando multiplica algo por 1.02 365 veces, puede esperar que haya una GRAN diferencia.

Como alguien más señaló, esto muestra cómo aparentemente pequeñas diferencias en los intereses pueden hacer grandes diferencias en los pagos generales. Es la razón por la cual las personas que no entienden muchas matemáticas pueden verse obligadas a pagar grandes cantidades de intereses a través de pagos aparentemente bajos semanales o mensuales durante varios años.

Si va a una tienda como Brighthouse, los vendedores hacen que suene bien porque está pagando solo unas pocas libras por semana con menos del 1% de interés por semana, ¡pero eso puede sumar más del 65% de interés por año!

Brighthouse: ¿vale la pena?

[matemáticas] 1.01 ^ {365} = (1 + .01) ^ {365} = 1 ^ {365} + 356 * 1 ^ {364} * 0.1 +… [/ matemáticas]

0.99 [matemáticas] ^ {365} = (1 – .01) ^ {365} = 1 ^ {365} – 356 * 1 ^ {364} * 0.1 +… [/ matemáticas]

¡Así que realmente es ‘solo’ un signo menos!

Si solo toma los primeros dos términos de la expansión, verá que se diferencian entre sí con bastante rapidez.

Quizás lo siguiente puede poner las cosas en perspectiva:

Suponiendo que sabe que [matemáticas] a ^ 2 – b ^ 2 = (a + b) (a – b) [/ matemáticas]

Ahora tus poderes son 365 pero es mucho más fácil mostrar lo que está sucediendo si uso un poder de 2 digamos 256:

[matemáticas] a ^ {256} – b ^ {256} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a ^ {128} + b ^ {128}) (a ^ {128} – b ^ {128}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a ^ {128} + b ^ {128}) (a ^ {64} + b ^ {64}) (a ^ {64} – b ^ {64}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a ^ {128} + b ^ {128}) (a ^ {64} + b ^ {64}) (a ^ {32} + b ^ {32}) (a ^ {32} – b ^ {32}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (a ^ {128} + b ^ {128}) (a ^ {64} + b ^ {64}) (a ^ {32} + b ^ {32}) (a ^ {16} + b ^ {16}) (a ^ {16} – b ^ {16}) [/ matemáticas]

para acortar una historia más larga

[matemáticas] = (a ^ {128} + b ^ {128}) (a ^ {64} + b ^ {64}) (a ^ {32} + b ^ {32}) (a ^ {16} + b ^ {16}) (a ^ 8 + b ^ 8) (a ^ 4 + b ^ 4) (a ^ 2 + b ^ 2) (a + b) (a – b) [/ matemáticas]

Ahora puede ver que el signo menos solo aparece en el último término y los otros términos son positivos.

Ahora pon a = 1.01 yb = 0.99 para que a – b = .02 tu pequeña diferencia se esté multiplicando por números que creo que puedes convencerte de que cada uno es mayor que 2.

Realmente puedo apreciar esta pregunta. ¡En una operación aparentemente tan simple, llegamos a una complejidad realmente importante!

En el corazón de por qué esto es tan confuso es porque ha enmarcado el problema en términos de lógica aditiva , sin embargo, las ecuaciones operan no solo en un nivel multiplicativo, sino en un nivel exponencial .

Las diferencias aditivas se acumulan a resultados enormes y aparentemente inesperados una vez que los aplica a operaciones de nivel superior.

¿Realmente quieres volar tu mente?

¡Mira la diferencia entre 1.01 ^ 365 y 1.03 ^ 365!

1.01 ^ 365 = 37.8

1.03 ^ 365 = 48,482.7

Piense en la multiplicación como suma acumulada. Y exponenciación como multiplicación acumulada.

Estás 100% correcto al notar que 0.02 no hace mucha diferencia cuando lo agregas a 0.99. Sin embargo, cuando acumula esa diferencia a través de la multiplicación … ¡Y luego la acumula de nuevo a través de la exponenciación, sus resultados se descontrolan rápidamente!

Para ponerlo en el término de los laicos, imagine que tiene 2 tazones de 100 canicas con la etiqueta “A” y “B”.

Cada día, pones 1 canica en “A” y quitas 1 canica en “B”. Repítalo por 100 días. Al final del día 100, el tazón “A” contendrá 200 canicas mientras que el tazón “B” contendrá 0 canicas.

Esta analogía es incorrecta, ya que describe la suma y la resta en lugar de los poderes, pero lo que estoy mostrando aquí es que cuando repites un pequeño proceso muchas veces, obtendrás un resultado mucho mayor de lo que piensas. A pesar de que la “transacción” involucra solo 1 canica por cada tazón por cada día, cuando lo haces durante 100 días se convierte en 100 veces.

Ahora pon esa perspectiva en multiplicación. En lugar de agregar 1 cada día, multiplique la cantidad de canicas por 2 cada día, comenzando por 1 canica. Entonces 1 se convierte en 2, 2 se convierte en 4. ¿Cuántas canicas habrá al final del décimo día? 1024. ¿Ves qué tan rápido pasa el número de 1 a 1024 en solo 10 días? Póngalo en perspectiva para 0.01, y obtendrá 10.24. La misma lógica para la imagen que adjuntaste también.

En lugar de tomar 365 como exponente, déjame tomar 256. El resultado no será tan dramático, pero como 256 es una potencia de 2, puedo simplificar la explicación.

Primero, cuadremos los dos números. La cuadratura [matemática] 1.01 [/ matemática] da [matemática] 1.01 ^ 2 = 1.0201 [/ matemática], mientras que la cuadratura [matemática] 0.99 [/ matemática] da [matemática] 0.99 ^ 2 = 0.9801 [/ matemática].

A continuación, cuadremos los resultados en el párrafo anterior. Obtendremos los 4tos poderes de los números originales.

[matemáticas] \ qquad1.01 ^ 4 = 1.0201 ^ 2 = 1.04060401 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad0.99 ^ 4 = 0.9801 ^ 2 = 0.96059601 [/ matemáticas]

(Hay una conexión con el triángulo de Pascal. Tenga en cuenta que 1, 4, 6, 4, 1 es la cuarta fila del triángulo).

Luego, cuadra esos números para obtener las octavas potencias de los números originales. Solo escribiré los primeros 4 dígitos después del punto decimal.

[matemáticas] \ qquad1.01 ^ 8 = 1.0406 ^ 2 = 1.0828 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad0.99 ^ 8 = 0.9605 ^ 2 = 0.9227 [/ matemáticas]

Hasta ahora, los números que estamos obteniendo no están muy lejos de [math] 1 [/ math], pero eso cambiará a medida que cuadremos repetidamente los números.

[matemáticas] \ qquad1.01 ^ {16} = 1.0828 ^ 2 = 1.1725 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad0.99 ^ {16} = 0.9227 ^ 2 = 0.8514 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad1.01 ^ {32} = 1.1725 ^ 2 = 1.3749 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad0.99 ^ {32} = 0.8514 ^ 2 = 0.7249 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad1.01 ^ {64} = 1.3749 ^ 2 = 1.8904 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad0.99 ^ {64} = 0.7249 ^ 2 = 0.5255 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad1.01 ^ {128} = 1.8904 ^ 2 = 3.5738 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad0.99 ^ {128} = 0.5255 ^ 2 = 0.2762 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad1.01 ^ {256} = 3.5738 ^ 2 = 12.7723 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad0.99 ^ {256} = 0.2762 ^ 2 = 0.07631 [/ matemáticas]

Los 256 poderes están muy separados. Y si hacemos una etapa más, veremos

[matemáticas] \ qquad1.01 ^ {512} = 12.7723 ^ 2 = 163.1335 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad0.99 ^ {512} = 0.07631 ^ 2 = 0.0058 [/ matemáticas]

Las potencias 356 se encuentran entre las potencias 256 y 512.

Esto muestra cómo el interés compuesto realmente aumenta rápidamente. Si pide prestado $ 1000 con un interés del 1% por día compuesto todos los días, deberá $ 37,783 dólares al final de un año.

Cada vez que una agencia espacial tiene que lanzar una nave espacial, tiene que ocuparse de muchas cosas pequeñas y hacer muchos cálculos. Tiene que lidiar con los cambios en la gravedad y el consumo de combustible y lo que no es sino lo más importante que determina el éxito o el fracaso de una misión es el “ángulo de lanzamiento”. Incluso si obtienen el ángulo incorrecto en (0.00… 1) grado, perderían su objetivo.

Cuando se nos dice que hagamos un ángulo de 30 grados en el papel, siempre cometemos un error de +/- 0.10 grados.

Lo que creemos que es muy poco y suponemos que no hará mucha diferencia, pero estas son las cosas que crean problemas. Si la distancia aumenta, la distancia entre los brazos de un ángulo también aumentará.

así que este pequeño error de aspecto insignificante puede hacer que una gran nave espacial pierda su objetivo.

Ahora pensemos matemáticamente

En el último paso, el denominador tiene 100 elevados a n cuando el valor de n aumenta, el valor de la función dentro de sigma tiende a 0.

Para algún valor de n, el valor de la función dentro de sigma no es cero en este caso, hasta 17 o 18.

Traté de obtener un enfoque fácil, pero no pude obtener ninguno. Supongo que para encontrar el valor de esta función sigma, la única forma es sustituir los valores de n. El valor de sigma debería ser 1260 ..

Después de multiplicar 1260 con 0.03 obtenemos 37.8 [el valor para (1.01) ^ 365].

Espero que entiendas mi punto.

Fuente: mis clases de matemáticas de octavo grado 🙂

Realmente me gustó la respuesta de David Joyce. Pero me gustaría agregarle algo de simplicidad al agregarle una explicación gráfica.

para (1.01) ^ n

mira cómo los valores aumentan en potencias de dos.

y para (0.99) ^ n

mira qué tan pequeño se vuelve cuando aumentan los poderes

Ambas imágenes están a la escala.

Ahora, si alguien quiere comparar la diferencia entre dos valores de potencia a (1.01) y (0.99), vea la diferencia entre cuadrados más grandes y cuadrados más pequeños.

puedes ver cómo la diferencia entre dos valores continúa aumentando realmente rápido.

Esta es la diferencia entre una serie geométrica divergente y una convergente. Si toma un número menor que 1, aunque solo sea un poco, y lo multiplica por sí mismo, el resultado nunca puede ser más grande. Esto es convergente.

Tomando un número mayor que 1 se aplica lo contrario, siempre será más grande. Lo importante a tener en cuenta aquí no es la diferencia de 0.02 sino la potencia a la que ha elevado ambos números. Dadas 365 iteraciones es suficiente para hacer una diferencia significativa en ambos resultados.

Si usaras una potencia de decir 10, la diferencia sería menos obvia.

Eso es crecimiento exponencial y decadencia para ti.

Uno de ellos significa que cada vez que crecemos, y el otro significa que nos hacemos más pequeños. Si lleva el exponente a un número alto, entonces lo anterior es solo un cálculo.

Si eso sigue siendo confuso, aquí hay un ejemplo:

La población de Populous City, llamada Pop, crece muy rápido. Por cada cien ciudadanos (incluidos los bebés) dan a luz a una nueva persona por cada cien ciudadanos por día de la Tierra (no cuestionen cómo es posible). Eso significa que al día siguiente dan a luz a más “personas” (supongo que podemos tener personas decimales, ¿por qué no?) Porque tienen esos bebés adicionales y nadie muere. Esto continúa durante todo un año en la Tierra y vemos que claramente tienen muchos más hijos.

No es difícil imaginar la misma ciudad, sino que la gente muere, y verás que a medida que tomas el poder a números realmente altos, el cambio más pequeño en tu base producirá resultados dramáticos.

Mire las gráficas de las dos funciones [matemáticas] f (x) = 0,99 ^ {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) = 1,01 ^ {x} [/ matemáticas]:

Es claramente reconocible que hay una diferencia.

La función [matemática] 0,99 ^ {x} [/ matemática] se aproxima al eje x en el lado positivo y obtiene [matemática] \ infty [/ matemática] en el lado negativo, la función [matemática] 1,01 ^ {x} [/ math] aproxima el eje x en el lado negativo y obtiene [math] \ infty [/ math] en el lado positivo.

Si expones un número entre 0 y 1 con un número natural, se vuelve más pequeño cuanto más grande es el exponente.

Pero si expones un número que es mayor que 1 con un número natural, se hace más grande cuanto mayor es el exponente.

Eso también explica los dos gráficos diferentes. 😉

Espero que esto ayude.

Cualquier número menor que uno, multiplicado por otro número menor que uno, se vuelve aún más pequeño.

0.5 * 0.5 = 0.25
0.25 * 0.25 = 0.0625

Cualquier número mayor que uno, multiplicado por otro número mayor que uno, se hace más grande.

2 * 2 = 4
4 * 4 = 16

Esto también se aplica a los exponentes, ya que los exponentes son simplemente sumas de multiplicación largas.

También conocida como función de “crecimiento / decadencia exponencial”

Las funciones exponenciales crecen muy, muy rápido. Si tiene una función exponencial a ^ x, si a> 1, su derivada es mayor que la función original (y viceversa), lo que significa que acelera más rápido de lo que crece, y su aceleración crece más rápido de lo que acelera la función original (y pronto).
En informática, específicamente en algoritmos, si tiene un algoritmo con un componente constante y un componente lineal, una solución que reemplaza cada parte del algoritmo con una función logarítmica se considera sustancialmente superior. La razón es que las funciones logarítmicas aumentan tan lentamente como las funciones exponenciales crecen rápidamente. Considere que log_2 (2 ^ 64) = 64 mientras que una función lineal sería c * 2 ^ 64, donde c es algo constante (creo que ese número está alrededor de los octillones).

El pozo 1.01 es mayor que 1. Cada vez que se multiplica por sí mismo, el valor del número resultante aumenta. Mientras que, por otro lado, 0.99 es menor que 1. Esto significa que cada vez que 0.99 se multiplica por sí mismo, el valor de la resultante disminuye.

Esto plantea un concepto fundamental pero interesante; ¿Qué hace que un número sea cercano a otro?

Como hemos visto, puedes hacer cosas con los números para hacerlos drásticamente diferentes.

Por ejemplo : si una gran diferencia en los resultados entre números que están a solo 0.02 de distancia no te sorprende, ¿qué pasa con un número a solo 0.00002 de distancia del siguiente?

Tome 0.99999 y 1.00001.

Si le damos a cada uno un valor de exponente de digamos 1,000,000, ¡imagine la diferencia entre ellos!

No tienes que hacerlo;

0.99999 ^ 1,000,000 = 0.000045

1.00001 ^ 1,000,000 = 22025

Eso es matemática, es lógica.

Es exactamente el mismo razonamiento que con cualquier situación ‘inestable’. Imagine una pelota sentada en un borde afilado. Si comienza un poco hacia un lado, caerá por ese lado y terminará muy lejos del punto de partida. Si fuera un poco hacia el otro lado, todavía terminará muy lejos, pero en la dirección exactamente opuesta. Un pequeño cambio en el inicio se convierte en un cambio gigante más tarde.

Efectivamente, esta ecuación le dice que multiplique repetidamente por algún número realmente cercano a 1. 1 es especial para la multiplicación, porque no cambia el valor de su respuesta. Pero a cada lado de este ‘borde’ especial, la multiplicación te alejará más y más de donde empezaste. Puede hacer lo mismo con la suma y el número 0, aunque es un poco menos dramático ya que no tiene el mismo efecto de aceleración. a medida que te alejas más y más.

De hecho, no todas estas ecuaciones son ‘inestables’. Imagínese si en su lugar tomara la raíz número 365 de su número. A diferencia de su ejemplo, eso realmente tomará una gran cantidad de números y los acercará realmente a 1.

Así son las matemáticas. con él puedes descubrir pequeños cambios que producen grandes resultados. sabes multiplicar

.99 * .99

y

1.01 * 1.01

lo haces, no? ahora tome los resultados y repítalos otras 364 veces. ¡HAZLO AHORA!

No es realmente la magnitud .02 lo que está haciendo la diferencia. Es el hecho de que un número mayor que 1 aumentará rápidamente cuando sea elevado a poderes mayores que 1, mientras que los números menores que 1 disminuirán cuando sea elevado a poderes mayores que uno. Un exponente de 365 es enorme, por lo que el efecto en ambos lados se magnifica enormemente.

Cuando se usan exponentes, si el número base está por encima de uno, entonces aumentará exponencialmente. Por otro lado, si el número base es menor que uno, entonces lo está multiplicando por menos de uno cada vez. Entonces, con el número base de .99, esencialmente está tomando el 99% del número después de multiplicarlo una y otra vez. Entonces, con la ecuación, .99 a la potencia de 365, multiplico .99 por .99, así obtengo el 99 por ciento de .99, por lo que siempre será más pequeño.