Grant Sanderson (3Blue1Brown) ha hecho un video increíble para explicar intuitivamente la identidad de Euler.
En este video, explicó la fórmula de Euler [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ matemáticas] usando la idea de multiplicadores y sumadores. Me toma un momento entender lo que eso significa, y definitivamente es una idea ingeniosa deformar el pensamiento tradicional.
Por cierto: prueba tradicional
- ¿Cómo diseñarías un plan de estudios de matemáticas?
- Si [math] y_n = \ frac {b} {y_ {n-1}} + a, [/ math] entonces, ¿qué es [math] y_n [/ math] en términos de [math] y_0 [/ math]?
- ¿Qué se puede decir sobre los productos que conservan los functores?
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- ¿Cuál es el significado y la aplicación de la clasificación de los grupos simples finitos?
[matemáticas] e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ cdots [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {i \ theta} = 1+ i \ theta + \ frac {(i \ theta) ^ 2} {2!} + \ cdots [/ math]
Este paso requiere valentía e imaginación y falta de rigor. Expandir el dominio de una función es una idea valiente. Lo anterior se puede reescribir como:
[matemáticas] e ^ {i \ theta} = (1 – \ frac {\ theta ^ 2} {2!} + \ frac {\ theta ^ 4} {4!} – \ cdots) + i (\ theta – \ frac {\ theta ^ 3} {3!} + \ frac {\ theta ^ 5} {5!} – \ cdots) [/ math]
Este es un enfoque aún más innovador porque reorganizar sumas infinitas puede convertir una serie convergente en una divergente. Sin embargo, la falta de rigor de Euler lleva a la famosa fórmula porque se dio cuenta de que los corchetes son [math] \ cos \ theta [/ math] y [math] \ sin \ theta [/ math] respectivamente.
[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math]
Y cuando [math] \ theta [/ math] es igual a [math] \ pi [/ math], el término real es -1 y el término complejo desaparece. Entonces [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas]
