¿Qué es una explicación intuitiva de un campo numérico?
Un campo matemático es un conjunto cuyos elementos y operaciones tienen propiedades fundamentales que a menudo asociamos con números:
- Una suma binaria, [math] + [/ math], cuyo resultado está en el conjunto y es independiente del orden;
- Una multiplicación binaria, [math] \ cdot [/ math], cuyo resultado también está en el conjunto y es independiente del orden;
- Una identidad aditiva, [matemática] 0 [/ matemática] (cero) e inversos aditivos (o elementos negativos) para cada elemento, [matemática] -x [/ matemática];
- Una identidad multiplicativa, [matemática] 1 [/ matemática] (una) e inversos multiplicativos para cada elemento (que no sea cero), [matemática] \ frac1x [/ matemática]; y
- La multiplicación se distribuye sobre la suma, o [matemáticas] a \ cdot (b + c) \ equiv a \ cdot b + a \ cdot c [/ math].
Estas definiciones implican que los elementos de un campo siguen muchas de las reglas para los números, que incluyen:
- ¿Es el sistema numérico chino realmente más lógico que el hindú-árabe? ¿Es posible que el sistema chino reemplace al hindú-árabe de la misma manera que el sistema hindú-árabe reemplazó al sistema romano?
- ¿Qué es una partición en matemáticas?
- ¿Cuál es la diferencia entre un grupo y un conjunto?
- ¿Qué es una falacia matemática de la que probablemente nunca haya oído hablar?
- Hay 4 nos. tal que la suma de todos los d cuatro nos. así como la suma de cada dos nos. Es un cuadrado perfecto. Encuentra d nos.
- Un negativo multiplicado por un negativo es un positivo;
- La multiplicación puede considerarse como una suma repetida;
- La resta se puede definir como sumar el negativo de un número; y
- La división se puede definir como la multiplicación por el inverso multiplicativo, por lo tanto, la división por cero está literalmente indefinida ya que no existe un inverso multiplicativo de cero.
Los números reales y racionales ordinarios son los únicos campos con los que es probable que te encuentres en matemáticas escolares, pero los campos son una de las estructuras algebraicas básicas que descubres cuando comienzas a abstraer las matemáticas de los números.
Un campo de número algebraico es específicamente una extensión de campo de grado finito de los números racionales, [math] \ mathbb Q [/ math]. Por ejemplo, los números de la forma [math] a + \ sqrt2b [/ math] donde [math] a, b \ in \ mathbb Q [/ math] forman un campo numérico designado [math] \ mathbb Q \ left [\ sqrt2 \ derecha] [/ matemáticas]. Curiosamente, los números reales no son un campo numérico ya que tienen un grado infinito sobre [math] \ mathbb Q [/ math].
