Gracias por el A2A.
La respuesta es sí, obtendrá una norma en cualquier [math] \ mathbb {C} – [/ math] o [math] \ mathbb {R} – [/ math] espacio vectorial [math] V [/ math].
Simplemente puede elegir alguna base de [matemáticas] V [/ matemáticas] (en el sentido de un espacio vectorial) [matemáticas] e _ {\ alpha} [/ matemáticas], [matemáticas] \; \ alpha \ en I, \, I [/ math] en general ni siquiera es contable.
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Entonces puede simplemente tomar [math] \ varphi (e _ {\ alpha}) = 1 [/ math] para todos [math] \ alpha \ en I. [/ Math]
Ahora, por la definición de una base, cualquier [matemática] x \ en V [/ matemática] se puede escribir de forma exclusiva como una [matemática] \ matemática {C} [/ matemática] – lineal – combinación de vectores básicos, es decir, [matemática] x = \ sum_ {k \ en J} a_k e_k [/ math], donde [math] J [/ math] es un conjunto finito, [math] a_k \ in \ mathbb {C} [/ math].
Ahora tome por ejemplo [math] \ varphi (x) = \ sum_ {k \ in J} | a_k | [/ math] y verifique que satisfaga todos los axiomas de una norma.
Bueno, esta definición no es natural (y dicha norma no es constructible) ya que depende de la elección de la base, pero es perfectamente válida dentro de ZFC (debido a su implicación de que cualquier espacio vectorial tiene una base).
