El filósofo eleático Zenón propuso una serie de desafíos filosóficos a las nociones de multiplicidad y movimiento que demolieron la idea de unidades fundamentales tanto del espacio como del tiempo. Que estos argumentos son paradójicos se debe, en gran parte, al papel del infinito.
Primero veamos los argumentos de Zenón contra la multiplicidad. En la visión pitagórica, todas las cosas en la naturaleza podrían medirse como múltiplos de una unidad estándar. Por ejemplo, vieron una línea como una colección de puntos discretos. Una línea infinita sería una colección infinita de puntos, pero solo en el sentido de infinito potencial, porque era imposible para cualquier persona crear un infinito real. Una línea delimitada, un segmento de línea, por lo tanto, se construiría con un número finito de puntos. Zenón, representando los puntos de vista de la escuela Eleatic, argumentó en contra de este punto de vista señalando que un segmento de línea de cualquier longitud siempre puede ser dividido en dos o cortado a la mitad. Dicha división crea dos segmentos de línea, cada uno de los cuales se puede bisecar nuevamente, y nuevamente, hasta el infinito.
Para un pitagórico, era perfectamente aceptable pensar en una unidad indivisible, un “átomo”, con el cual se podría “construir” la magnitud. El argumento de Hipassus contra la conmensurabilidad complicó un poco esta visión. Hipassus demostró que no podía haber una unidad común fundamental entre el lado y la diagonal de un cuadrado. Como vimos en la prueba de Theodorus usando triángulos, esta idea de inconmensurabilidad implica que una magnitud se puede dividir tantas veces como se desee. Aceptar la noción de que una magnitud, como un segmento de línea, puede dividirse o dividirse infinitamente, lleva a la conclusión de que cualquier unidad fundamental similar a un átomo debe tener una longitud cero. Esto crea una paradoja: ¿cómo se puede construir un segmento de línea a partir de piezas que no tienen longitud? Uno puede agregar cero a cero tantas veces como quiera y el resultado siempre será cero.
Los argumentos más famosos de Zenón tienen que ver tanto con el tiempo como con el espacio. Mostró que ver el espacio como una multitud de puntos y el tiempo como una multitud de “momentos” discretos nos obliga a creer que el movimiento es una ilusión. El sentido común argumenta en contra de este punto de vista, pero el sentido común es informado por nuestros sentidos, que podrían, en opinión de un filósofo enamorado de la deducción racional, estarnos engañando. Zenón presentó cuatro argumentos contra el movimiento: la dicotomía, la flecha, Aquiles y la tortuga, y el estadio. Veamos dos de estos, el primero un argumento contra el espacio continuo, el segundo un argumento contra el espacio y el tiempo discretos.
La dicotomía es muy similar al argumento de la línea de división que vimos en la sección anterior. En el ejemplo de Zenón, un caballo está tratando de atravesar la distancia desde el punto A hasta el punto B. Antes de que pueda llegar al punto B, obviamente debe cubrir la mitad de la distancia. Antes de que pueda cubrir la mitad de la distancia, seguramente debe cubrir un cuarto de la distancia, y así sucesivamente. Si el espacio está compuesto por una multitud de puntos, debe cubrir un número infinito de estos puntos en un tiempo finito, lo cual es contradictorio. Por lo tanto, según esta línea de razonamiento, el caballo nunca puede pasar del punto A al punto B.
Imagen de tres secuencias de cuatro cajas
Este último de los argumentos de Zenón se entiende más fácilmente en un ejemplo moderno. Supongamos que hay tres trenes, cada uno compuesto por vagones del mismo tamaño. El tren A está en reposo; el tren B se mueve hacia la izquierda en relación con el tren A; y el tren C se mueve hacia la derecha en relación con los otros dos trenes y viaja a la misma velocidad que el tren B.
Digamos que lleva un tiempo, T , que un vagón del tren B pase completamente por un vagón del tren A.
Debido a que el tren C se mueve a la misma velocidad absoluta que el tren B, también toma tiempo T para que un vagón del tren C pase un vagón del tren A.
¿Qué tan lejos se mueven los trenes B y C uno en relación al otro en el tiempo dado, T ? Debido a que el tren B mueve un carro hacia la izquierda y el tren C mueve un carro hacia la derecha, mueven dos carros completos uno respecto al otro. Sobre la base de este razonamiento, estaríamos perfectamente justificados para definir una nueva unidad de tiempo más pequeña, 
, como el tiempo que le toma al tren C mover un automóvil en relación con el tren B. Esto efectivamente trata al tren B como si estuviera en reposo, y podríamos imaginar un nuevo tren, el tren D y repetir el argumento hasta el infinito.
El punto aquí es que es contradictorio imaginar el tiempo como una serie de momentos discretos, porque esos momentos pueden subdividirse infinitamente.
LÍMITES
- Existen múltiples formas de resolver las paradojas de Zeno, aunque muchas tienen deficiencias.
- La resolución matemática estándar utiliza la idea de que una suma de cantidades infinitas y decrecientes puede considerarse finita.
- La idea de un valor límite para un proceso infinito está en el corazón del cálculo.
Filósofos y científicos a lo largo de los siglos intentaron resolver las paradojas de Zenón mediante una variedad de argumentos. Algunos negaron que el espacio y el tiempo existan en un sentido significativo. Algunos afirmaron que el espacio y el tiempo no son, de hecho, infinitamente divisibles, y siguieron adelante. Otros utilizaron las paradojas como evidencia de que nuestra capacidad de razonar es contradictoria. Incluso otros consideraron que la distinción entre los muchos y el uno era falsa, un concepto que recuerda la visión del mundo de Eleatic que ayudó a generar las paradojas en primer lugar.
Cualesquiera que sean las resoluciones putativas, sería una exageración llamar a cualquiera de ellas matemática. Los matemáticos posteriores a Zenón tuvieron que aceptar la existencia del infinito real, a pesar de que no tiene sentido intuitivo. Por ejemplo, para resolver la paradoja de La dicotomía, podemos observar la convergencia de una serie geométrica, 1 + x + x2 + x3 … No es difícil demostrar que una serie geométrica general converge a 
siempre que | x | es menor que 1. Para hacer esto se requiere que examinemos el comportamiento de la serie a medida que se acerca al infinito. Tenga en cuenta que una serie geométrica general comienza con 1, entonces si x = 
, la suma de la serie es entonces 2.
La paradoja de la dicotomía esencialmente presenta una suma infinita de términos de tamaño decreciente 
, que podemos reconocer que es 
. Sin embargo, a diferencia de una serie geométrica general, la serie implícita en The Dichotomy no comienza con 1. En consecuencia, la suma de la serie The Dichotomy es en realidad – 1, que, con x = , es igual a 1. En otras palabras, el caballo pasa del punto A al punto B.
Entonces, el infinito se convirtió en una herramienta que podría usarse, siempre y cuando uno no mirara muy de cerca exactamente cómo funcionaba. Los matemáticos aceptaron que uno podría tener un límite finito a una suma infinita. Este concepto hizo posible llegar a una magnitud finita sumando un número infinito de piezas infinitamente pequeñas. Tales piezas, que se conocieron como infinitesimales, tienen, en un sentido inquietantemente vago, arbitrariamente pequeñas pero distintas magnitudes. El gran Newton, uno de los padres del cálculo, la nueva teoría revolucionaria del siglo XVII que describía el movimiento tanto en el cielo como en la Tierra, al principio basó sus ideas en estos problemáticos infinitesimales. No fue hasta el siglo XIX que Augustine Cauchy cambió las cosas y desarrolló una base de sonido para el tema hablando de límites. Esto tuvo un profundo efecto en el concepto de “número”, ya que Cauchy también encontró una manera consistente de dar significado a las cantidades irracionales, definiéndolas esencialmente como límites de secuencias de cantidades racionales. Por ejemplo, volvamos a la misteriosa cantidad 0.101001000100001000…. Cauchy definiría esto como el límite de la secuencia de racionales, 0.1, 0.101, 0.101001, 0.1010010001,…. Este cambio de perspectiva representaba un matrimonio, de una especie, del potencial y el infinito real, y aportó algo de lógica a los conceptos del infinito de irracionales y las sumas infinitas que surgen en el cálculo.
A medida que el cálculo comenzó a asumir un papel cada vez más grande en matemáticas y ciencias, la necesidad de comprender el infinito se hizo mayor. Esta búsqueda de comprensión finalmente requirió un cambio en el pensamiento, lejos de mirar números enteros y magnitudes, hacia pensar en conjuntos. En la siguiente sección, veremos algunas de las ideas fundamentales en esta nueva forma de pensar.
PS- 3.4 Las paradojas de Zenón
