Del teorema de Wilson,
Si p es primo, entonces [matemáticas] \ left ({p – 1} \ right)! \ equiv \ left ({- 1} \ right) \ bmod \ left (p \ right) [/ math]
[matemáticas] \ left ({17 – 1} \ right)! \ equiv \ left ({- 1} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
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[matemáticas] \ Rightarrow 16! \ equiv \ left ({- 1} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow 16 \ times 15! \ equiv \ left ({- 1} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ left ({17 – 1} \ right) \ times 15! \ equiv \ left ({- 1} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
[matemática] \ Rightarrow \ left [{17 \ left ({15!} \ right) – 15!} \ right] \ equiv \ left ({- 1} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow – 15! \ equiv \ left ({- 1} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow 15! \ equiv \ left (1 \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
[matemáticas] 16! \ equiv \ left ({- 1} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow 17 \ times 16! \ equiv \ left ({- 1 \ times 17} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow 17! \ equiv \ left ({- 17} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow 17! \ equiv \ left (0 \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
Nota: [math] n! [/ Math] es completamente divisible por [math] n [/ math]
Combinando las congruencias anteriores, obtenemos
[matemáticas] \ left ({15! + 17!} \ right) \ equiv \ left ({1 + 0} \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow {\ left ({15! + 17!} \ right) ^ {10}} \ equiv {\ left ({1 + 0} \ right) ^ {10}} \ bmod \ left ({17 } \ right) [/ math]
[matemática] \ Rightarrow {\ left ({15! + 17!} \ right) ^ {10}} \ equiv \ left (1 \ right) \ bmod \ left ({17} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ por lo tanto R \ left ({\ frac {{{{(16! + 17!)} ^ {10}}}} {{17}}} \ right) = 1} [/ matemáticas]
~ Praveenkumar Kalikeri ~
