Calcule pacientemente las potencias del número que desea que sea la raíz del polinomio. Un polinomio con ese número como raíz es lo mismo que una relación lineal no trivial entre las potencias.
Usando el teorema binomial:
[matemática] \ left (\ sqrt {2} + \ sqrt {3} \ right) ^ 0 = 1 [/ math]
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[matemáticas] \ left (\ sqrt {2} + \ sqrt {3} \ right) ^ 1 = \ sqrt {2} + \ sqrt {3} [/ math]
[matemática] \ left (\ sqrt {2} + \ sqrt {3} \ right) ^ 2 = 5 + 2 \ sqrt {6} [/ math]
Ay. Ahora tenemos un nuevo número irracional con el que lidiar. Esto no va en la dirección correcta.
[matemáticas] \ left (\ sqrt {2} + \ sqrt {3} \ right) ^ 3 = 11 \ sqrt {2} +9 \ sqrt {3} [/ math]
Hmm Aunque hemos visto estos dos números antes, no parece haber una manera fácil de deshacerse de ellos, porque sus coeficientes aquí (11 y 9) son diferentes mientras que antes ambos tenían el mismo coeficiente (1). Y el [math] \ sqrt {6} [/ math] no está siendo muy útil.
[matemática] \ left (\ sqrt {2} + \ sqrt {3} \ right) ^ 4 = 49 + 20 \ sqrt {6} [/ math]
¡Ajá! Hemos visto algo muy similar antes. El cuadrado tenía un [math] 2 \ sqrt {6} [/ math], y ahora tenemos un [math] 20 \ sqrt {6} [/ math]. Eso es fácil de manejar: si tomamos 10 veces el cuadrado y restamos de la cuarta potencia, [math] \ sqrt {6} [/ math] desaparecerá y nos quedarán solo números racionales. Ahora usemos [math] a [/ math] como nombre para [math] \ sqrt {2} + \ sqrt {3} [/ math].
[matemáticas] a ^ 4-10a ^ 2 = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 4-10a ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]
Entonces, el polinomio que desea es [matemática] x ^ 4-10x ^ 2 + 1 [/ matemática].
¿Fue un milagro que la cuarta potencia se pareciera tanto a la segunda para que pudiéramos encontrar una combinación lineal que produjera 0? Realmente no. Si considera la estructura de expresiones como [math] (\ sqrt {2} + \ sqrt {3}) ^ n [/ math] cuando las expande, verá que consisten en combinaciones lineales de las raíces cuadradas de 2, 3, 6 y eso es todo. Por lo tanto, en algún momento se garantiza que tendrá suficiente redundancia para encontrar lo que está buscando. Los números [matemática] 1, \ sqrt {2}, \ sqrt {3}, \ sqrt {6} [/ matemática] son linealmente independientes sobre los racionales, por lo que cuatro expresiones que los involucran pueden ser independientes, pero cinco no. Tan pronto como alcancemos la cuarta potencia (que es el quinto elemento de la secuencia, comenzando con la potencia 0), sabemos que debe haber una combinación que produzca 0.
