El número que pertenece al conjunto del no real. y un punto decimal no recurrente y no recurrente tampoco pueden representarse en forma de p / q donde q no = 0. Como los reales forman un conjunto incontable, de los cuales los racionales son un subconjunto contable, el conjunto complementario de irracionales es incontable.
Bajo la función de distancia usual (Euclidiana) d (x, y) = | x – y |, los números reales son un espacio métrico y, por lo tanto, también un espacio topológico. Restringir la función de distancia euclidiana da a los irracionales la estructura de un espacio métrico. Como el subespacio de los irracionales no está cerrado, la métrica inducida no está completa. Sin embargo, al ser un conjunto G-delta, es decir, una intersección contable de subconjuntos abiertos, en un espacio métrico completo, el espacio de los irracionales es completamente metrizable: es decir, hay una métrica en los irracionales que inducen la misma topología que la restricción de la métrica euclidiana, pero con respecto a la cual los irracionales están completos. Uno puede ver esto sin conocer el hecho antes mencionado sobre los conjuntos G-delta: la expansión de fracción continua de un número irracional define un homeomorfismo desde el espacio de los irracionales hasta el espacio de todas las secuencias de enteros positivos, que se ve fácilmente como completamente metrizable.
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