Cómo factorizar esto: x ^ 4 – 5x ^ 3 + 27x -135

Gracias por A2A.

Recomiendo aprender el teorema de Bezout. Aquí hay dos puntos principales de ese teorema:

1)

(fuente: División de Polinomios. Esquema de Horner. Teorema de Bezout)

2)

Si el coeficiente del máximo exponente de x (en su caso, [matemática] x ^ 4 [/ matemática]) es 1, entonces P (x) no tiene raíz racional o solo tiene enteros.

De 1 y 2, podemos ver que si un número entero [matemática] a [/ matemática] satisface [matemática] x ^ 4 – 5x ^ 3 + 27x -135 [/ matemática] [matemática] = (xa) .P (x ) [/ math], [math] a [/ math] debe ser un divisor de [math] 135 [/ math]. Puede probar diferentes divisores de [matemáticas] 135 [/ matemáticas] para verlo usted mismo. Por supuesto, hay más cosas que hacer, pero creo que es un buen primer paso para comenzar.

Para polinomios de cuatro términos como este, recomendaría factorizar agrupando. Lo que quiero decir es:

(1) Agrupe los primeros dos y los últimos dos términos en binomios distintos

[matemáticas] x ^ 4-5x ^ 3 + 27x-135 = (x ^ 4-5x ^ 3) + (27x-135) [/ matemáticas]

(2) Factorizar cada binomio independientemente

[matemáticas] (x ^ 4-5x ^ 3) + (27x-135) = x ^ 3 (x-5) +27 (x-5) [/ matemáticas]

(3) Factorizar factores binomiales comunes (esta es la ventaja de factorizar agrupando)

[matemáticas] x ^ 3 (x-5) +27 (x-5) = (x ^ 3 + 27) (x-5) [/ matemáticas]

Esto no siempre funciona, pero cuando lo hace es bastante bueno. Observe que puede factorizar [matemáticas] (x ^ 3 + 27) = (x + 3) (x ^ 2-3x + 9) [/ matemáticas] (que es una consecuencia de una regla de factorización bien conocida para expresiones de la forma [matemáticas] x ^ n \ pm y ^ n [/ matemáticas]).

Por lo tanto, tiene [matemáticas] x ^ 4-5x ^ 3 + 27x-135 = (x-5) (x + 3) (x ^ 2-3x + 9) [/ matemáticas]