Un matemático llamado Georg Cantor (1845-1918) se considera el fundador de la teoría de conjuntos moderna. Cantor tuvo muchas contribuciones para establecer la teoría y fue revolucionario en cierto sentido. Cantor fue quizás el primero en tratar la noción de infinito como un objeto matemático válido. Esto estaba en conflicto directo con las opiniones prevalecientes en ese momento. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un matemático muy influyente y fue citado por escrito a un amigo: “Debo protestar con vehemencia contra su uso del infinito como algo consumado, ya que esto nunca está permitido en las matemáticas”. El infinito no es más que una manera de hablar ”. Cantor también descubrió que algunos conjuntos infinitos eran fundamentalmente más grandes que otros.
La teoría de conjuntos de Cantor a veces se llamaba “ingenua” porque se basaba en el pensamiento natural más que en un sistema axiomático formal. En 1883, Cantor propuso el Principio de buen orden como una ley lógica evidente. Este principio simplemente establece que cada conjunto puede estar “bien ordenado”. Un buen ordenamiento es un tipo especial de ordenamiento lineal total. Esto significa que para cualquiera de los dos elementos diferentes, a y b , ya sea a <b o b <a , y si a <b y b <c, entonces a <c . Además de ser un ordenamiento lineal total, un ordenamiento bien tiene la propiedad especial de que cada subconjunto no vacío de S tiene un elemento mínimo en este ordenamiento. Por ejemplo, 0 <- 1 < 1 <- 2 < 2 < … es un buen orden de los enteros. Cantor necesitaba el principio de buen orden para demostrar que dos cardenales infinitos son comparables, pero la mayoría de los matemáticos encontraron que el principio de buen orden era todo menos evidente. Un buen orden de los números reales es especialmente controvertido porque no está claro si existe. Además, si existe, sería imposible de construir. Aproximadamente una década después de que se propuso el Principio de buen orden de Cantor, Cantor se dio cuenta de que su principio no había ganado seguidores. Inmediatamente comenzó a buscar una prueba y el principio se convirtió en el problema del buen orden. El problema del buen orden fue la motivación para el Axioma de Elección.
En 1904, un matemático llamado Ernst Zermelo publicó una prueba para el
Problema de buen orden. Esta prueba requería un “principio lógico inamovible”. Este principio lógico se llamó más tarde el Axioma de Elección, que denota AC. Pronto el teorema del buen orden se hizo conocido como el teorema de Zermelo. Hubo muchas preguntas sobre el Axioma de elección de Zermelo, así como otras incertidumbres que aún existían. Los matemáticos, en este punto, aún no estaban seguros de qué constituía exactamente un conjunto. Entonces, en 1908, Zermelo propuso el primer conjunto de axiomas. Sin embargo, hubo algunos defectos con los axiomas de Zermelo. En 1922, como solución a estos defectos, Abraham Fraenkel propuso otros axiomas que dieron origen a los axiomas Zermelo-Fraenkel, denotados por ZF. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel además del Axioma de Elección se denominan ZFC.
El Axioma de elección de Zermelo tiene muchas formas equivalentes. De hecho, el principio de buen orden es una forma equivalente de AC. La definición más común y más plausible de AC establece que, dado un conjunto de conjuntos no vacíos mutuamente disjuntos, existe otro conjunto que contiene exactamente un elemento en común con cada uno de los conjuntos no vacíos. Esto explica el nombre “Axioma de elección”. El supuesto conjunto, a menudo llamado “conjunto de elección”, ha “elegido” un elemento de cada uno de los conjuntos disjuntos no vacíos. Una cosa que es importante tener en cuenta es que esta es una forma no constructiva de crear un conjunto. Este axioma es asumido por la mayoría de los matemáticos hoy en día, pero todavía encuentra oposición por parte de algunos. Si a uno se le dieran finitamente muchos conjuntos mutuamente disjuntos, entonces intuitivamente parece plausible seleccionar físicamente un elemento de cada uno de los conjuntos disjuntos. Si a uno se le dieran innumerables conjuntos mutuamente disjuntos, entonces con una cantidad infinita de tiempo todavía parece plausible. La controversia surge cuando se les dan innumerables conjuntos. Incluso con una cantidad de tiempo infinita, ¿tiene sentido suponer que este conjunto existe aunque no podamos construirlo?
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Para ilustrar cuándo uno necesita confiar en el Axioma de Elección, considere el siguiente ejemplo. Supongamos que hay innumerables pares de zapatos, y deseamos seleccionar exactamente un zapato de cada par. Entonces AC no es necesario. Un conjunto puede construirse diciendo que S denote el conjunto de zapatos correctos. Sin embargo, si hay innumerables pares de calcetines, entonces se necesita AC para obtener un conjunto que contenga un calcetín de cada par. No hay forma de distinguir generalmente entre los calcetines, por lo que para cada par hay que elegir. Ahora, para ver cómo se relacionan AC y el teorema del buen orden, supongamos por el momento el teorema del buen orden. Dado que cada conjunto puede estar bien ordenado, podemos ordenar toda la colección de calcetines. Entonces podemos dejar que S sea el conjunto de calcetines que aparecen ante su compañero en el orden correcto. Para ver algunas cosas raras que puedes probar con AC, busca la paradoja de Banach-Tarski.
