¿Cuál es la solución a [matemáticas] e ^ {2i \ bar {z}} = -8 + 6i [/ matemáticas] que tiene la parte real positiva más pequeña?

Deje [math] z = a + bi [/ math] so [math] \ bar {z} = a-bi [/ math]. Buscamos el más pequeño positivo [matemáticas] a [/ matemáticas].

[matemática] -8 + 6i = e [/ matemática] [matemática] ^ {2i \ bar {z}} = e ^ {2i (a-bi)} = e ^ {2b} e ^ {2ai} [/ matemática ]

Ángulos de igualación:

[matemática] 2a = \ arctan {\ frac {6} {- 8}} = \ pi – \ arctan {\ frac {3} {4}} [/ math]

[matemáticas] -8 + 6i [/ matemáticas] es un triángulo rectángulo 3,4,5 en el segundo cuadrante. Para los triples pitagóricos, el ángulo no tiene un buen valor. Pero podemos agregarle cualquier múltiplo de [math] 2 \ pi [/ math], por lo que para el entero [math] k [/ math] obtenemos

[matemáticas] a = \ frac {\ pi} {2} – \ frac {1} {2} \ arctan {\ frac {3} {4}} + \ pi k [/ matemáticas]

El arcotangente es de alrededor de 35 grados o .6 radianes. [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas] da el valor positivo más pequeño, por lo que obtenemos

[matemáticas] a = \ frac {\ pi} {2} – \ frac {1} {2} \ arctan {\ frac {3} {4}} [/ matemáticas]

Editar: Bien, entonces en realidad tenemos [matemáticas] e ^ {2i (a-bi)} = – 8 + 6i [/ matemáticas] donde [matemáticas] z = a + bi. [/ Matemáticas] Haremos uso de Euler fórmula: [matemática] e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta). [/ math] Veamos primero el lado izquierdo. Distribuimos y separamos usando reglas de exponentes, luego aplicamos la fórmula de Euler para obtener

[matemáticas] e ^ {2ia + 2b} = e ^ {2b} e ^ {2ai} = e ^ {2b} (\ cos (2a) + i \ sin (2a)). [/ math]

A la derecha, queremos convertir este número a forma polar [math] r (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) [/ math]. Para obtener el módulo, tenemos [math] | -8 + 6i | = \ sqrt {(- 8) ^ 2 + 6 ^ 2} = 10. [/ math] Luego, para obtener el argumento (ángulo), dibuja el punto en el plano complejo, y verá que forma un triángulo rectángulo con el eje imaginario positivo con patas de longitud 8 y 6. Medimos el ángulo desde el eje x positivo, por lo que necesitaremos agregar [matemáticas] \ frac {\ pi} {2} [/ math] al ángulo en el triángulo. Tenemos [matemáticas] \ theta = \ arctan (\ frac {8} {6}) + \ frac {\ pi} {2} = \ arctan (\ frac {4} {3}) + \ frac {\ pi} {2}. [/ Math] Entonces tenemos

[matemáticas] e ^ {2b} (\ cos (2a) + i \ sin (2a)) = 10 (\ cos (\ arctan (\ frac {4} {3}) + \ frac {\ pi} {2} ) + i \ sin (\ arctan (\ frac {4} {3}) + \ frac {\ pi} {2})) [/ math]

Nota: una forma alternativa (y más corta) de formular esta ecuación es

[matemáticas] e ^ {2b + 2ai} = e ^ {\ ln (10) + (\ arctan (\ frac {4} {3}) + \ frac {\ pi} {2}) i} [/ matemáticas]

Al establecer los módulos iguales, obtenemos

[matemáticas] e ^ {2b} = 10 \ Rightarrow 2b = \ ln (10) \ Rightarrow b = \ frac {\ ln (10)} {2}. [/ math]

Al establecer los argumentos iguales pero observando que podemos agregar cualquier múltiplo entero de [math] 2 \ pi [/ math], obtenemos

[matemáticas] 2a = \ arctan (\ frac {4} {3}) + \ frac {\ pi} {2} +2 \ pi n [/ matemáticas]

donde n es un entero. Dividiendo ambos lados por 2, tenemos

[matemáticas] a = \ frac {1} {2} \ arctan (\ frac {4} {3}) + \ frac {\ pi} {4} + \ pi n [/ matemáticas]

Deseamos elegir n para que a> 0 sea lo más pequeño posible. Con un cálculo explícito encontramos [matemática] \ frac {1} {2} \ arctan (\ frac {4} {3}) + \ frac {\ pi} {4} \ aprox 1.25 <\ pi, [/ math]

entonces debemos elegir n = 0 para seguir siendo positivos. Así

[matemáticas] z = \ frac {1} {2} \ arctan (\ frac {4} {3}) + \ frac {\ pi} {4} + \ frac {\ ln (10)} {2} i. [/matemáticas]

Avísame si hay un error en alguna parte.

Ayuda a tener claro lo que tienes en el exponente allí. Si [matemática] z = a + bi [/ matemática] entonces [matemática] 2i \ bar {z} = 2b + 2ai [/ matemática]. Ahora sabemos que [math] e ^ {2b} [/ math] tiene que ser la magnitud de [math] -8 + 6i [/ math] (¿Entiendes? Tiene “math] 2b [/ math]”) y [math] 2a [/ math] debe ser un argumento. A partir de lo que se le da, puede encontrar la tangente del argumento, y de eso puede inferir cuál sería el argumento más pequeño posible. [matemáticas] a [/ matemáticas] sería la mitad de eso.