Las líneas paralelas “se encuentran en el infinito” son más precisas , pero requieren que se sepa lo que significa “encontrarse en el infinito”, y la mayoría de las personas no entienden la geometría proyectiva. Por cierto, esta es una de las muchas nociones diferentes de infinito utilizadas en matemáticas. No es lo mismo que la cardinalidad infinita.
Esto es similar a la forma en que es más preciso decir que [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ +} \ frac {1} {x} = \ infty [/ matemáticas] en lugar de que el límite no existen, los límites de la forma se definen al principio. [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ +} \ frac {\ sin 1 / x} {x} [/ matemáticas] no existe en este sentido extendido de límites. Más simplemente, decimos que 1-3 tiene un valor, -2, en lugar de decir: “No se puede tomar un número mayor de uno menor”, como se enseña en segundo grado.
Hay una incrustación natural del espacio afín (como [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]) en el espacio proyectivo que agrega un punto “en el infinito” a cada línea. En el plano, los puntos en el infinito corresponden a las pendientes de las líneas. En un plano proyectivo, cada par de líneas se cruza. Las líneas que son paralelas en un plano afín tienen el mismo punto en el infinito ya que tienen las mismas pendientes. Esto no es solo abstracción esotérica. Es importante para entender la perspectiva. Los rayos paralelos parecen cruzarse en un punto en el infinito. Si los rayos son paralelos al suelo, esta intersección está en el horizonte.
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Wikipedia: punto de fuga
En el plano, los puntos extra en el infinito forman una línea propia. Los puntos en el infinito pueden parecer muy extraños al principio. Sin embargo, las simetrías del plano proyectivo actúan de forma transitiva sobre líneas, de modo que la línea de puntos en el infinito no es realmente diferente de cualquier otra línea. Una forma de ver esto es identificar puntos en el plano proyectivo con líneas a través del origen en 3 espacios. Las líneas en el plano proyectivo corresponden a planos a través del origen. El plano afín podría corresponder a las intersecciones de líneas a través del origen con el plano z = 1: la intersección de la mayoría de las líneas a través del origen con el plano z = 1 es un punto de la forma (x, y, 1). La intersección de la mayoría de los planos a través del origen con el plano z = 1 es un conjunto de puntos (x, y, 1) que satisfacen alguna ecuación ax + by = c. Los “puntos en el infinito” corresponden a líneas a través del origen que son paralelas al plano z = 1, es decir, contenidas en el plano z = 0, que es la línea en el infinito en el plano proyectivo.
En tres dimensiones, las líneas oblicuas no se cruzan, y sus puntos en el infinito son diferentes. Por ejemplo, las líneas z = 0 x = 0 y z = 1 y = 0 son asimétricas. Las líneas paralelas z = 0 x = 0 y z = 0 x = 1 no tienen intersección en 3 espacios afines, pero comparten el mismo punto en el infinito en la extensión natural de 3 espacios afines a 3 espacios proyectivos. Decir que dos líneas no se cruzan pero tienen el mismo punto en el infinito proporciona más información que solo decir que no se cruzan.
Técnicamente, las líneas idénticas son paralelas, por lo que las líneas paralelas se cruzan en toda la línea o solo en el infinito.
