¿Cómo es probar un teorema que nadie ha probado antes?

Depende en gran medida del teorema. Si está desarrollando un marco o teoría completamente nuevo, generalmente está demostrando una gran cantidad de pequeños lemas y algunos grandes teoremas. Sientes emoción por la belleza de lo que sea que estés trabajando, pero gran parte de tu trabajo se siente inevitable y a menudo no hay un elemento de sorpresa. Si, por otro lado, demuestras un resultado importante en un campo existente, entonces puedes deleitarte con la dulce, dulce culminación de meses o años de giros equivocados y luchas con la comprensión. El éxtasis es indescriptible, pero también hay una nota de preocupación de que te has perdido algo y tu prueba es discutible. Cuando todo va bien, el proceso de verificar todo a fondo se siente como jugar una máquina tragamonedas, ver cada rueda caer en su lugar, hasta que la última te lleve a tu bote. Ese sentimiento es casi indescriptible … ¡Me dan escalofríos solo de pensarlo!

Es una emoción especial, peculiar, encantadora y solitaria.

Qué tan emocionante depende de las circunstancias. El teorema podría ser pequeño o enorme, famoso o desconocido, profundo o superficial, ingenioso o sorprendente, una pequeña mejora sobre el estado actual de la técnica o un avance completo. No puedo decirte lo emocionante que puede ser: no probé nada parecido a una conjetura famosa. Pero tuve la oportunidad de probar cosas nuevas, algunas (creo) interesantes y no triviales. Y fue asombroso.

La resolución de problemas es muy divertida (para algunos de nosotros), pero hay un nivel adicional de satisfacción al resolver algo que nadie resolvió antes, incluso si tal vez nadie hubiera intentado resolverlo antes, pero por supuesto aún más si la gente lo hiciera.

Cuando luchas con una olimpiada matemática o un problema de Putnam, es como un juego: sabes que el problema fue diseñado para tener una solución. Se necesita creatividad, inteligencia y experiencia para encontrarlo, pero todos saben que está ahí. Pero cuando luchas con una conjetura que se te ocurrió, o tu asesor de tesis lo hizo, o algo que está siendo investigado por otros, entonces no sabes si es posible probarlo, o incluso si es verdad. Es un misterio y tiene ganas de explorar un dominio totalmente nuevo: un lugar que nadie visitó antes que usted.

Encontrar la chispa final que hace que todo funcione es un placer increíblemente satisfactorio y raro. Puede haber tardado dos días, o seis semanas, o algunos años, y puede que hayas renunciado a eso, y volvió para atormentarte, y le diste más amor, y luego te lo devolvió.

No sé si hay grandes analogías para explicar cómo es “como”; tal vez es como llegar a una cumbre, pero en lugar de una expedición deliberada para intentar Nanga Parbat, es como caminar durante siglos en desiertos vacíos y selvas densas y de repente encontrar un nuevo pico, negociarlo y superarlo. Realmente, no creo que sea como cualquier otra cosa.

Desearía tener la elocuencia para describirlo.

Después de leer el libro sobre el último teorema de Fermat hace casi 20 años, me interesé mucho. No es que pueda intentar resolverlo (no soy un matemático), pero leería sobre eso de vez en cuando. Escuché una entrevista con Andrew Wiles, quien la resolvió no hace mucho tiempo y sus palabras quedaron en mi mente. Aquí hay una cita de la entrevista:

“Hay una cierta sensación de tristeza , pero al mismo tiempo existe una tremenda sensación de logro . También hay una sensación de libertad. Estaba tan obsesionado con este problema que lo pensaba todo el tiempo, cuando me despertaba por la mañana, cuando me dormía por la noche, y eso continuaba durante ocho años. Eso es mucho tiempo para pensar en una cosa. Esa odisea en particular ha terminado. Mi mente ahora está en reposo “.

fuente : Andrew Wiles sobre Solving Fermat – NOVA | PBS

Fuera de un salón de clases, no sé por qué estás probando un teorema que ya ha sido probado.

Para responder a la pregunta, da una sensación de logro.

Sin embargo, generalmente no es el caso de que este es un teorema difícil que muchos otros han intentado y no han podido probar, pero en el que nadie más ha trabajado en esa área exacta.

Mucho como explorar una nueva cueva. No vas donde todos los demás han ido, vas a un lugar nuevo. De esa manera, lo que encuentre será nuevo (pero no necesariamente emocionante aparte de usted).

He probado muchos teoremas. La parte difícil, al menos desde mi perspectiva, no es probar el teorema, sino descubrir si se ha hecho antes. En al menos el 90% de los casos, diría que la respuesta es “sí”. Por ejemplo, aquí hay un artículo lleno de teoremas que he demostrado todo por mi solitario:

[1506.06984] Análisis matricial del transporte de trazadores

pero estoy bastante seguro de que la mayoría de ellos han sido probados en otros lugares, aunque no exactamente en la misma forma. Por ejemplo, estaba particularmente orgulloso de la derivación en la Sección 3 que comienza con la Ecuación (24) pero encontré una versión en otro documento (¡mi versión es más elegante!)

Por supuesto, esta preimpresión está en un campo que ya está muy bien explorado. Pero esta es la razón por la cual las matemáticas son una herramienta tan poderosa: le permite conocer a través de la deducción toda una serie de hechos mientras comienza con solo un puñado de axiomas.

Es absolutamente emocionante.

Lo sé porque por un breve momento en la escuela secundaria, pensé que había demostrado un lema previamente desconocido relacionado con el conjugado armónico proyectivo. Resulta que 1) no había probado nada nuevo, 2) se había sabido por cientos de años, 3) los niños de secundaria nunca hacen nuevas matemáticas y 4) mi maestro sabía todo esto, pero déjame descubrirlo en mío. Sin embargo, por un breve momento, no lo supe y pensé que era el genio que mi madre siempre me dijo que era.

Daría una descripción, pero esta respuesta es demasiado limitada para contenerla.