Vamos a comprobar que las cosets (izquierda) de un subgrupo [math] S [/ math] de [math] G [/ math] dividen el grupo [math] G [/ math]. Debemos mostrar dos cosas: primero, que las cosets distintas no se cruzan, y segundo, la unión de las cosets es equivalente a [math] G [/ math]. Esta última propiedad se mantiene porque claramente la unión de las cosets está contenida en [math] G [/ math], y cualquier elemento [math] g [/ math] de [math] G [/ math] puede escribirse como [math] gi [/ math] donde [math] i [/ math] es la identidad (entonces [math] G [/ math] está contenido en la unión de las cosets).
Ahora, verifiquemos la propiedad anterior considerando un elemento [math] x [/ math] que puede escribirse como [math] g_1s_i [/ math] y [math] g_2s_j [/ math] para algunos [math] s_i [/ math] y [math] s_j [/ math] en [math] S [/ math]. Para [matemática] s \ en S [/ matemática] arbitraria, [matemática] g_1s = g_1s_is_i ^ {- 1} s [/ matemática] = [matemática] g_2s_js_i ^ {- 1} s = g_2s_k [/ matemática] para algunos [ matemáticas] s_k \ en S [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] g_1S [/ math] está contenido en [math] g_2S [/ math]. Un argumento análogo muestra que [math] g_2S [/ math] está contenido en [math] g_1S [/ math], y así [math] g_1S = g_2S [/ math]. Por lo tanto, si dos cosets se cruzan en absoluto, no son distintas.
Tenga en cuenta que hemos mostrado un resultado un poco más general de lo que creo que estaba preguntando el OP, es decir, que cosets particiona un grupo [math] G [/ math]. Los grupos de cocientes son un grupo de cosets, donde el subgrupo [matemática] S [/ matemática] es normal.
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