¡Hola!
Se esperaba sinceramente que este fuera el caso a principios del siglo XX por personas como David Hilbert, desafortunadamente, Godel demostró que en cualquier sistema axiomático no trivial, siempre sería posible formular problemas en ese sistema que eran imposibles de probar o refutar desde dentro del sistema. Más exactamente, Godel demostró que uno podía expresar declaraciones dentro del sistema que eran ciertas pero que no eran demostrables desde dentro del sistema. ¡Y mostró esto para un sistema axiomático arbitrario! Esto siempre me deja boquiabierto.
Para los matemáticos, esto no era exactamente ideal, ya que significa que, en general, siempre es posible escribir un problema que nadie puede “resolver” (en el sentido de que nadie puede probarlo ni refutarlo).
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En un sentido diferente, Alan Turing también ha demostrado que casi todos (un término matemático técnico numbers los números reales no son computables. Esto también se entiende en un sentido muy técnico, pero básicamente significa que si tomas todos los números de los cuales ha usado o escuchado alguna vez, incluyendo e, pi, raíces, etc., todavía hay infinitos más números que ni siquiera podría escribir, ¡pero aún están contenidos en el conjunto de números reales! Dicho esto, puede ¡¡¡al menos prueba que no puedes anotar un número inconfundible !!
Los campos de análisis numérico y probabilidad y estadística también son fascinantes desde esta perspectiva porque estos campos se usan generalmente para obtener estimaciones limitadas de cosas que no es posible escribir exactamente (o en forma cerrada). ¡Por ejemplo, la probabilidad de que un dardo arrojado a un tablero de dardos golpee exactamente en el centro del tablero de dardos es 0! Sin embargo, si tomamos un círculo arbitrariamente pequeño con un radio distinto de cero centrado en la diana, ¡podemos calcular la probabilidad de que el dardo aterrice allí!
¡Te animo a que aprendas más sobre estos campos de las matemáticas si algo de esto te interesa! También me disculpo con cualquier matemático verdadero si he simplificado demasiado para perder el espíritu de los resultados y conceptos mencionados en aras de una respuesta rápida de Quora 🙂
A veces, estudiar los originales también puede ser revelador, realmente disfruté leyendo Dios creó los enteros, editado por Stephen Hawking, que incluye algunos de los trabajos de Godels sobre el teorema de la incompletitud 🙂
¡Que tengas un gran día!
Alden Stowe
