Si la suma de cuadrados está dada por k (k + 1) (2k + 1) / 6, entonces ¿cuál es el valor más pequeño de k para el cual la suma de los cuadrados será divisible por 100?

Supongo que estamos restringidos a enteros positivos.

Para que k (k + 1) (2k + 1) / 6 sea divisible por 100 (que es 2 ^ 2 * 5 ^ 2), necesitamos que k (k + 1) (2k + 1) / 6 sea divisible por 2 ^ 2 y por 5 ^ 2. Como 6 tiene 2 en su factorización prima, k (k + 1) (2k + 1) debe ser divisible por 2 ^ 3 y 5 ^ 2. Examinaré a su vez las condiciones en que k (k + 1) (2k + 1) es divisible por 8 y por 25.

Debido a que 2k + 1 nunca es divisible por 2, k (k + 1) (2k + 1) es divisible por 8 cuando k (k + 1) es divisible por 8. Dado que k y k + 1 nunca son divisibles por 2, este es el caso cuando k o k + 1 es divisible por 8. En otras palabras, k debe ser 0 o 7, módulo 8.

No dos de k, k + 1 y 2k + 1 pueden ser simultáneamente divisibles por 5. Por lo tanto, k, k + 1 o 2k + 1 deben ser divisibles por 25. Esto es cierto cuando k es 0, 12, o 24, módulo 25.

Aplicando el teorema del resto chino, estas dos ecuaciones se satisfacen cuando k es 0, 24, 87, 112, 175 o 199, módulo 200. La solución positiva más pequeña es 24, así que esa es su respuesta.

Y, de hecho, 1 + 4 + 9 +… + 529 + 576 = 4900.

k = 24