¿Por qué la cardinalidad de [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas] es igual a la cardinalidad de [matemáticas] [0,2] [/ matemáticas]?

Para matar una mosca con una bomba:

¡Son iguales porque ambos son iguales a la cardinalidad de [math] \ mathbb {R} [/ math]!

(Hay algunas sutilezas aquí, en realidad. No es difícil encontrar una biyección entre (0,1) y [math] \ mathbb {R} [/ math] –eg,
[math] f: \ mathbb {R} \ hookrightarrow (0,1) [/ math] dado por
[matemáticas] f (x) = \ frac {1} {\ pi} tan ^ {- 1} (x) + \ frac {1} {2} [/ matemáticas].
Esto nos da que
[math] card (\ mathbb {R}) \ le card ([0,1]) [/ math].
Pero claramente
tarjeta [matemática] (\ mathbb {R}) \ tarjeta ge ([0,1]) [/ matemática];
por lo tanto son iguales)

Los bailes escolares comenzaron una vez con una multitud de chicas a un lado del gimnasio y una multitud de chicos al otro. Las corrientes de niños y niñas se encontrarían en el medio para emparejarse. Si este proceso concluye sin que quede nadie, entonces hay tantas niñas como niños. Ahora, en su imaginación, reemplace la mafia de niñas por los números en [0,1] y los niños por [0,2]. El emparejamiento es por regla general: cada x (del lado de las niñas) se empareja con 2x (del lado de los niños). Una vez hecho esto, todos los números se emparejan, obviamente. Por lo tanto, [0,1] y [0,2] tienen cada uno la misma cardinalidad.

Sin embargo, hay diferentes formas de emparejar algunos dejando restos de [0,1], otros restos de [0,2] y otros sin restos.

Hay una demostración ingeniosa (diagonalización de Cantor) que demuestra que hay más números en [0,1] que en N el conjunto de enteros. La aritmética de conjuntos infinitos (aritmética transfinita) es un poco diferente de la aritmética finita, pero las similitudes son sorprendentes.

La función [math] x \ mapsto 2x [/ math] es una biyección entre los dos intervalos. Esto es lo que significa que dos conjuntos tengan la misma cardinalidad, que existe una biyección entre ellos.