Una función toma una entrada (o más) y produce una salida.
Cuando hablamos de una función de número real (por ejemplo, [matemática] f (x) = 2x [/ matemática], [matemática] g (x) = sen x [/ matemática], etc.), podemos mostrar fácilmente la relación entre la entrada y la salida utilizando coordenadas cartesianas, un gráfico con un eje xy un eje y. Por ejemplo, podemos representar [matemáticas] y = g (x) = sen x [/ matemáticas] usando este gráfico. Usando el gráfico, sabemos que, por ejemplo, cuando [matemática] x = 0 [/ matemática], [matemática] y = sin (x) = 0 [/ matemática], o cuando [matemática] x = π [/ matemática ] (alrededor de 3.14), [matemática] y = sin (x) = 0 [/ matemática], o cuando [matemática] x = -π / 2 [/ matemática] (alrededor de -1.57), [matemática] y = sin ( x) = – 1 [/ matemáticas].
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Representar una función usando un gráfico es posible para funciones de número real, porque el número real se puede expresar como un punto en una línea.
Sin embargo, un número complejo no se puede representar como un punto en una línea. Debe ser representado como un punto en un plano. Por ejemplo, estos son los puntos [matemática] 0 [/ matemática], [matemática] π [/ matemática], [matemática] 2i [/ matemática], [matemática] 3 + i [/ matemática], que se muestran en un plano complejo .
Sería difícil mostrar las salidas de la función sin en cada uno de esos valores utilizando un gráfico. Por cierto, esos valores son
[matemáticas] sin (0) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] sin (π) = 0 [/ matemática]
[matemática] sin (2i) = i × sinh (2) ≈3,63i [/ matemática]
[matemática] sin (3 + i) = sin (3) × cos (i) + cos (3) × sin (i) = sin (3) × cosh (1) + cos (3) × sinh (1) × i≈0.076-1.16i [/ matemáticas]
Como puede ver, los valores también son números complejos. ¿Cómo podemos mostrar estas relaciones fácilmente en un papel?
Para representar visualmente una función de un número complejo, en lugar de usar un gráfico, alguien tuvo la idea de usar un mapeo complejo. La idea es que seleccionamos algunos segmentos de línea en el plano complejo y mostramos la salida de la función en los puntos de esa línea.
Por ejemplo, para representar [matemáticas] w = u + vi = sin (x + yi) [/ matemáticas], primero dibujamos líneas [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas], [matemáticas] x = -0.5 [/ matemática], [matemática] x = 0 [/ matemática], [matemática] x = 0.5 [/ matemática], [matemática] x = 1 [/ matemática], [matemática] y = -1 [/ matemática], [matemática ] y = -0.5 [/ matemática], [matemática] y = 0 [/ matemática], [matemática] y = 0.5 [/ matemática], [matemática] y = 1 [/ matemática] en un gráfico xy. Esto creará una cuadrícula como esta.
A continuación, calculamos los senos de todos los puntos en esas líneas y mostramos las líneas resultantes. Esto creará una cuadrícula algo distorsionada que se muestra a continuación. Esta cuadrícula se llama el mapa complejo del pecado en la cuadrícula que se muestra arriba.
Esta es la idea del mapeo complejo. Representamos una función (en este caso, sin) dibujando el resultado de aplicar la función en los puntos de una cuadrícula que consta de muchas líneas. Como se trata de un mapeo conforme, se conservan los ángulos locales y es fácil ver la correspondencia entre los puntos en la entrada y la salida.
Resumen : el mapeo complejo es una forma de representar visualmente una función de número complejo, al igual que un gráfico lineal puede usarse para representar visualmente una función de número real.
