La información sobre el rebote de la pelota se da en la forma de la afirmación de que “la pelota pierde 1 joule cada vez que toca la Tierra”.
La energía potencial inicial es [matemática] U_0 = mg h_0 = 5kg \ cdot 9.8 \ mathrm {m / s ^ 2} \ cdot 10 \ mathrm {m} = 490 \ mathrm {J} [/ math].
Como la pelota pierde 1J por rebote, dejará de rebotar cuando toque el suelo por 490a vez, es decir, después de completar 489 rebotes.
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Si la pregunta es la cantidad de tiempo transcurrido en lugar de la cantidad de rebotes, se vuelve un poco más complicado. El primer rebote ocurre en:
[matemáticas] \ Delta t_0 = \ sqrt {\ frac {2h_0} {g}} = \ sqrt {\ frac {2 \ cdot 10 \ mathrm {m}} {9.8 \ mathrm {m / s ^ 2}}} = 1.4 \ mathrm {s} [/ math]
Esta es la respuesta de broma dada en el cómic, ya que el chiste es que la pelota se detiene en el primer toque porque golpea un cadáver.
Si la pelota continúa rebotando, cada rebote sucesivo tomará una cantidad menor de tiempo, ya que la pelota pierde energía cada vez que toca el suelo. El tiempo requerido para el rebote [math] n [/ math] viene dado por:
[matemáticas] \ Delta t_n = 2 \ sqrt {\ frac {2h_n} {g}} [/ matemáticas]
El factor 2 entra porque después del primer golpe, la pelota sube y luego baja en cada rebote. Se necesita la misma cantidad de tiempo para subir que para bajar.
Ahora sustituimos en la altura alcanzada en cada rebote sucesivo:
[matemáticas] h_n = \ frac {U_n} {mg} = \ frac {U_0 – n} {mg} = \ frac {mg h_0 – n} {mg} = h_0 – \ frac {n} {mg} [/ matemáticas ]
Entonces tenemos:
[matemáticas] \ Delta t_n = 2 \ sqrt {\ frac {2h_n} {g}} = 2 \ sqrt {\ frac {2} {g} \ left (h_0 – \ frac {n} {mg} \ right)} [/matemáticas]
Por último, solo tenemos que resumir todas las veces para saber cuánto tiempo tarda la pelota en descansar. Como sabemos que se detendrá después de golpear por 490a vez, habrá 489 rebotes después de la caída inicial.
[matemáticas] t_f = \ Delta t_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {489} \ Delta t_n [/ matemáticas]
[matemáticas] t_f = \ sqrt {\ frac {2h_0} {g}} + 2 \ sum_ {n = 1} ^ {489} \ sqrt {\ frac {2} {g} \ left (h_0 – \ frac {n } {mg} \ right)} [/ math]
Para los parámetros del problema original, la bola se detendrá [math] t_f = 933.3 \ mathrm {s} [/ math] después de que se lance.
Apéndice:
Esto supone que la superficie no tiene fricción. Una superficie horizontal sin fricción no tiene medios para aplicar ninguna fuerza horizontal a ningún objeto. Por lo tanto, el impulso horizontal de la pelota nunca cambiará, y la velocidad horizontal inicial dada en el problema se convierte en el arenque rojo de un escritor de preguntas. Después del último rebote, se deslizará indefinidamente por el suelo.
Si la superficie tiene fricción, como señala Ryan Carlyle, parte del momento de traslación de la bola se convertirá en momento angular con cada rebote. Calcular la transferencia requeriría información sobre el momento de inercia de la pelota, que no se proporciona.
