Como se explica en la respuesta del usuario de Anon, el término describe un número entero (o más bien una familia de números enteros) cuyas recíprocas de expansiones decimales explican la secuencia de Fibonacci, al menos hasta que las cosas comienzan a chocar entre sí, por ejemplo
1/89 = 0.011235 …,
1/9899 = 0.0001010203050813213455…,
etc.
Este tipo de cosas es solo el resultado de un truco muy simple por el cual conectas una potencia de diez en una función generadora para una serie. Como Anders Kaseorg no parece querer publicar el comentario de Anders Kaseorg sobre la respuesta del usuario de Anon como respuesta, voy a tratar de dar una buena explicación de lo que está sucediendo aquí y, con suerte, mostrarle cómo inventar cosas como esta para usted mismo.
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Los números de Fibonacci son, por supuesto, dados por
[matemáticas] F_0 = 0, \ qquad F_1 = 1, [/ matemáticas]
[matemáticas] F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_n \; (n \ geq 0) [/ matemáticas]
Apliquemos algunos libros de texto que generen funciones a esa secuencia. Definir
la serie de potencia formal [matemáticas] G (x) = \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ \ infty F_n x ^ n [/ matemáticas], que se conoce como la función generadora de la secuencia de Fibonacci. Multiplique la definición por [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas]:
[matemáticas] F_ {n + 2} x ^ n = F_ {n + 1} x ^ n + F_n x ^ n [/ matemáticas]
Luego suma sobre cada lado:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty F_ {n + 2} x ^ n = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty F_ {n + 1} x ^ n + \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty F_n x ^ n [/ math]
Saquemos algunas cosas para que los subíndices y superíndices coincidan:
[matemáticas] \ frac {1} {x ^ 2} \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty F_ {n + 2} x ^ {n + 2} = \ frac {1} {x} \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty F_ {n + 1} x ^ {n + 1} + \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty F_n x ^ n [/ math]
Ahora vuelva a indexar las sumas para que los índices coincidan también:
[matemáticas] \ frac {1} {x ^ 2} \ displaystyle \ sum_ {n = 2} ^ \ infty F_n x ^ n = \ frac {1} {x} \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty F_n x ^ n + \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty F_n x ^ n [/ math]
De esto está claro que podemos expresar cada suma en términos de G (x):
[matemáticas] \ frac {G (x) – F_1 x – F_0} {x ^ 2} = \ frac {G (x) – F_0} {x} + G (x) [/ matemáticas]
Simplificando,
[matemáticas] \ frac {G (x) – x} {x ^ 2} = \ frac {G (x)} {x} + G (x) [/ matemáticas]
Desde este punto, solo es el álgebra básica para resolver los denominadores de G. Clearing,
[matemáticas] G (x) – x = x G (x) + x ^ 2 G (x) [/ matemáticas].
Recolectando términos similares,
[matemáticas] [1 – x – x ^ 2] G (x) = x [/ matemáticas];
Resolviendo
[matemáticas] G (x) = \ frac {x} {1 – x – x ^ 2} [/ matemáticas]
Ahora solo hacemos este truco estúpido donde conectamos potencias de diez en G para obtener números cuyas expansiones son cadenas de números:
Por un lado,
[matemáticas] G \ left (\ frac {1} {10} \ right) = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty F_n \ left (\ frac {1} {10} \ right) ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {0} {1} + \ frac {1} {10} + \ frac {1} {10 ^ 2} + \ frac {2} {10 ^ 3} + \ frac {3} { 10 ^ 4} [/ matemáticas]
[matemáticas] + \ frac {5} {10 ^ 5} + \ frac {8} {10 ^ 6} + \ frac {13} {10 ^ 7} + \ cdots [/ matemáticas]
[matemáticas] = 0.1123595 \ ldots [/ matemáticas]
(las cosas se arruinan después del 5 porque el 1 en el lugar de los diez del 13 se traslada y se agrega al 8, dando 9).
Por otro lado, podemos usar nuestra expresión
[matemáticas] G \ left (\ frac {1} {10} \ right) = \ frac {\ frac {1} {10}} {1 – \ frac {1} {10} – \ frac {1} {100 }} = \ frac {10} {89} [/ matemáticas]
para obtener una buena descripción de este número. (Por supuesto, 1/89 básicamente tendría las mismas propiedades, solo con el punto decimal movido sobre un lugar).
Si queremos evitar el problema de que el 1 del 11 golpee el 8 y arruine las cosas, podríamos enchufar 1/100 en lugar de 1/10, dándonos un relleno de dos dígitos. Esto da
[matemáticas] G \ left (\ frac {1} {100} \ right) = \ frac {\ frac {1} {100}} {1 – \ frac {1} {100} – \ frac {1} {10000 }} = \ frac {100} {9899} [/ matemáticas]
que tiene la expansión decimal 0.0101020305081321345590 …; aquí el 1 del 144 ha sido transferido y cambiado el 89 a 90. (De nuevo, podríamos cambiar el 100 a 1 si realmente quisiéramos un recíproco de un entero; todo lo que haría sería mover el punto decimal un par de lugares más allá)
De hecho, sigamos adelante y calculemos estos números en general:
[matemáticas] G \ left (\ frac {1} {10 ^ n} \ right) = \ frac {\ frac {1} {10 ^ n}} {1 – \ frac {1} {10 ^ n} – \ frac {1} {10 ^ {2n}}} = \ frac {10 ^ n} {10 ^ {2n} – 10 ^ n – 1} [/ matemáticas]
El hecho de que cuando conectamos potencias negativas de diez obtengamos potencias positivas de diez en el numerador es una característica especial de esta función de generación en particular, lo que significa que no obtendrá cosas tan buenas si intenta aplicar este método a Una secuencia arbitraria.
De todos modos, esto nos permite dar una respuesta mucho más concisa: los “números inversos de Fibonacci” son los de la forma [matemáticas] 10 ^ {2n} – 10 ^ n – 1 [/ matemáticas].
Para obtener más información sobre la generación de funciones, descargue la función de generación
