¿Cuáles son los teoremas matemáticos más importantes?

Mi docena de candidatos principales que son relativamente fáciles de entender para los no matemáticos (esto probablemente cambiaría si lo pensara más … y esto no está en ningún orden en particular):

1. El teorema del límite central (que prueba que bajo algunas condiciones muy generales, muchas distribuciones aleatorias se suman a una distribución normal)
2. El teorema fundamental del álgebra (que te dice que una ecuación algebraica de orden n tiene n raíces)
3. El teorema de la curva de Jordan (que prueba que una curva cerrada en el avión tiene un interior y un exterior, algo que probablemente no creías que fuera necesario probar)
4. El teorema de Pitágoras (puede ser simple y de nivel secundario, pero todo el campo de la trigonometría y la geometría analítica se basa en ello).
5. El teorema de incrustación de Nash (que no intentaré explicar en un comentario entre paréntesis: http://en.wikipedia.org/wiki/Nas …)
6. La prueba de que el número de números primos es infinito (esto es lo suficientemente viejo como para no pensar que sea atribuible a ninguna persona)
7. La prueba de la fórmula de Euler (tengo ganas de aplaudir a esta bestia en particular)
8. Teoremas de incompletitud de Godel (que muestran que cualquier sistema lógico al menos tan complejo como la aritmética contiene afirmaciones verdaderas que no se pueden probar dentro del sistema)
9. Teorema de punto fijo de Brouwer (otro que no puede resumirse en una observación entre paréntesis: http://en.wikipedia.org/wiki/Bro … … pero básicamente la mayor parte de la teoría de ecuaciones diferenciales se basa en esto)
10. Teoremas sin almuerzo gratuito en la optimización combinatoria (en términos generales, cualquier procedimiento de optimización que funcione mejor que otro en una parte de un espacio problemático tendrá un peor rendimiento en otra parte, pero eso es una simplificación excesiva: http://en.wikipedia.org/ wiki / No_ …)
11. El teorema binomial (Newton)
12. La demostración de von Neumann del constructor universal (no es realmente un teorema per se, sino una prueba por construcción de que la autorreplicación era posible en autómatas celulares, lo que para mí es una especie de “prueba de que la vida misma es algo matemático” http: //en.wikipedia.org/wiki/Von …)

Hay muchos más teoremas que realmente me gustan, pero muchos de ellos (incluidos los extremadamente importantes que afectan su vida) ni siquiera pueden enunciarse sin introducir primero varias capas de conceptos no triviales.

Estas docenas no son necesariamente los teoremas más importantes en matemáticas, pero son aquellos cuya importancia es la más fácil de entender (con la excepción del teorema de incrustación de Nash, que probablemente no entenderá si no ha tenido alguna topología , pero me gusta tanto que decidí ponerlo de todos modos).

Para el registro, solo entiendo las pruebas de aproximadamente la mitad de mi lista.

Hay tantos teoremas importantes, pero dos que enumeraría en cualquier listado son

• El teorema de Pitágoras. Todo lo que tenga que ver con la geometría depende de ello.
• El teorema fundamental del cálculo, en particular, la versión que dice [math] \ displaystyle \ int_a ^ b f ‘(x) dx = f (b) – f (a) [/ math]. Es lo que hace que el análisis funcione.

Ambos se han “generalizado al infierno” (como lo habría dicho el difunto Tom Storer), y ese proceso solo se ha vuelto más importante.