Es fácil entender esto con un ejemplo.
Considere el conjunto de números reales positivos [matemática] R ^ {+ *} [/ matemática] (es decir, números reales mayores que cero). ¿Cuál es el mínimo de este conjunto? Imposible de determinar, porque cualquier elemento dado en [matemáticas] R ^ {+ *} [/ matemáticas], podría dividirse en un número menor, que todavía se encuentra en [matemáticas] R ^ {+ *} [/ matemáticas] (Para ejemplo, dado 1, podemos encontrar 0.5).
Sin embargo, podemos determinar el límite inferior más grande para este conjunto, es decir, un límite por debajo del cual no existe un número real positivo: el número cero. Este número no pertenece al conjunto de números reales positivos, sino un superconjunto : el conjunto de números reales. Este número cero se llama infimum del conjunto de números reales positivos.
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Es importante entender el pensamiento aquí. No podemos encontrar un límite mínimo / inferior dentro del conjunto de números reales positivos. Por lo tanto, elegimos / creamos un superconjunto (el conjunto de números reales) y luego encontramos un límite inferior dentro de él. Este límite inferior no es único (ya que cualquier número por debajo de cero también formará un límite inferior). Por lo tanto, elegimos el límite inferior más grande.
Ahora considere el conjunto de números reales negativos [matemática] R ^ {- *} [/ matemática] (es decir, números reales menores que cero). No podemos determinar el máximo de este conjunto, porque para cualquier elemento dado en [math] R ^ {- *} [/ math], podemos encontrar un número mayor que pertenece a este conjunto. (Por ejemplo, dado -1, podemos encontrar -0.5.).
Así que elegimos un superconjunto de este conjunto: el conjunto de números reales. Dentro de este conjunto, podemos encontrar un límite superior, más allá del cual, no existe un número real negativo: el número cero. Este límite superior no es único, ya que cualquier número mayor que cero también formará un límite superior. Por lo tanto, elegimos el límite superior más bajo . Este límite superior más bajo se llama supremum del conjunto de números reales negativos.
Para que funcione la idea de un infimum o supremum, es necesario que el superconjunto tenga alguna propiedad de un orden , sin el cual sería difícil comparar sus elementos.
