Este es un caso típico cuando se usaría el Teorema del resto chino (junto con otros resultados). Primera nota [math] 92 = 4 \ times 23 [/ math] con [math] \ text {gcd} (4, 23) = 1 [/ math]. llamemos a [math] N = 19 ^ {92} [/ math]. Calcularemos, [math] N \ pmod {4} [/ math] y [math] N \ pmod {23} [/ math] y luego usaremos CRT para calcular [math] N \ pmod {92} [/ math] .
Primero, [matemáticas] N \ pmod {4} = (19) ^ {92} \ pmod {4} = (-1) ^ {92} \ pmod {4} = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] N \ pmod {23} = (19) ^ 4 \ cdot [(19) ^ {22} \ pmod {23}] ^ 4 \ pmod {23} = (-4) ^ 4 \ pmod {23} = (16) ^ 2 \ pmod {23} = (-7) ^ 2 \ pmod {23} = 49 \ pmod {23} = 3. [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que en lo anterior hemos utilizado el pequeño teorema de Fermat. Ahora, si conoce CRT, puede decir directamente [math] N \ pmod {92} = 49. [/ math]
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Si no, puedes calcularlo. Una forma de hacerlo es escribir dos listas de números (una para cada relación) y elegir el primer número común. Para la primera relación [matemáticas] N \ pmod {4} = 1, [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] \ {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45 , 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89 \} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ {3, 26, 49, 72 \} [/ matemáticas] – – para la segunda relación [math] N \ pmod {23} = 3. [/ math] Tenga en cuenta que solo necesita hasta [math] 92 = 23 \ times 4. [/ math] El primer número común, de hecho habrá exactamente un número común, es 49.
Sin embargo, no es un método elegante, también para grandes números llevaría mucho tiempo escribir la secuencia. Permítanme ilustrar cómo hacerlo algebraicamente. Tenga en cuenta que podemos escribir, [matemáticas] N = 23 K + 3 [/ matemáticas] a partir de la segunda relación. Por lo tanto, desde la primera relación tenemos [matemáticas] (23 K + 3) \ pmod {4} = 1 [/ matemáticas] es decir, [matemáticas] 3K \ pmod {4} = -2 \ pmod {4} = 2 [ / matemáticas] es decir, [matemáticas] K \ pmod {4} = (3) ^ {- 1} \ cdot 2 \ pmod {4} = 3 \ cdot 2 \ pmod {4} = 2. [/ matemáticas] Nota [ matemáticas] 3 \ cdot 3 \ pmod {4} = 1 [/ matemáticas] para que [matemáticas] (3) ^ {- 1} \ pmod {4} = 3. [/ matemáticas] Por lo tanto, tenemos [matemáticas] K = 4 t + 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] N = 23 (4t + 2) + 3 = 92 t + 49. [/ matemáticas]
