Se supone que las clases de serre están cerradas bajo varias operaciones naturales. Una razón natural por la que elegiría esas operaciones particulares es que ocurren cuando se calcula la homología de algunos espacios a partir de la homología de espacios relacionados. Una aplicación clásica importante, y creo que la aplicación para la que Serre inventó las clases de Serre, es que si
[matemáticas] F \ a E \ a B [/ matemáticas]
es una fibración donde, por simplicidad, [matemática] F, E [/ matemática] están conectadas y [matemática] B [/ matemática] está simplemente conectada, y dos de cada tres de los espacios tienen grupos de homología que se encuentran en algunos Serre clase, entonces también lo hace el tercero. El argumento es a través de la secuencia espectral de Serre, que como puedes imaginar, Serre también inventó.
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Esta tecnología le permite transmitir mucha información sobre los grupos de espacios de homología que están relacionados por secuencias de fibraciones. En particular, Serre lo usó para mostrar que los grupos de esferas de homotopía se generan finitamente (solo estábamos hablando de homología, pero Serre también inventó una técnica para calcular grupos de homotopía en términos de grupos de homología usando la secuencia espectral de Serre).
