Usaré letras mayúsculas para las constantes introducidas.
Comienza a nevar en el momento [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas] y comenzamos a arar en [matemáticas] t = T. [/ Matemáticas]
Está nevando a un ritmo constante. Eso significa para [math] t \ ge 0, [/ math]
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[matemáticas] h = Bt \ quad [/ matemáticas]
Una vez que comenzamos a arar, [math] t \ ge T, [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {dx} {dt} = v = \ dfrac {A} {h} = \ dfrac {A} {Bt} = \ dfrac {A / B} {t} = \ dfrac {K} {t }[/matemáticas]
Eso muestra (b) (i).
Para la parte (ii), la primera condición dice
[matemáticas] \ displaystyle \ int_T ^ {T + 2} \ dfrac {dx} {dt} dt = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ int_T ^ {T + 2} \ dfrac {K} {t} dt = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 = K \ ln t | _ {t = T} ^ {t = T + 2} = K (\ ln (T + 2) – \ ln T) [/ matemáticas]
Ahora la siguiente condición es
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {T + 2} ^ {T + 5.5} \ dfrac {dx} {dt} dt = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 = K (\ ln (T + 5.5) – \ ln (T + 2)) [/ matemáticas]
Divisor,
[matemáticas] 1 = \ dfrac {K (\ ln (T + 5.5) – \ ln (T + 2))} {K (\ ln (T + 2) – \ ln T)} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln (T + 2) – \ ln T = \ ln (T + 5.5) – \ ln (T + 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 \ ln (T + 2) = \ ln T + \ ln (T + 5.5) [/ matemáticas]
[matemáticas] (T + 2) ^ 2 = T (T + 5.5) [/ matemáticas]
[matemática] T ^ 2 + 4T + 4 = T ^ 2 + 5.5T [/ matemática]
[matemáticas] 1.5T = 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] T = \ dfrac {4} {1.5} = \ dfrac {8} {3} [/ matemáticas]
6 am corresponde a [matemática] T = 8/3. [/ Matemática] Entonces [matemática] t = 0 [/ matemática], el momento en que comenzó a nevar, debe estar en [matemática] 6 -8/3 = 10/3 [/ math] horas pasadas la medianoche, o 3:20 am.
