A2A: ¿Cómo resuelvo (a + b + c) (1 / a + 1 / b + 1 / c) ≥9 para a, b, c> 0?
(Nota: la pregunta original para mostrar que el producto es> 9, pero de hecho es igual a 9 si a = b = c, así que en cambio estoy respondiendo la pregunta que estaba destinada).
Usaré la famosa AM ≥ GM, desigualdad, que dice que la media aritmética de dos números positivos es mayor o igual que su media geométrica. Entonces, para dos números positivos a, b, a / b + b / a ≥ 2. Esto se debe a que el promedio de a / b y b / a es mayor o igual que la media geométrica de a / b y b / a, que es 1.
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[matemáticas] \ left (a + b + c \ right) \ left (\ dfrac {1} {a} + \ dfrac {1} {b} + \ dfrac {1} {c} \ right) \\ ~ \ \\ quad = 3 + \ left (\ dfrac {a} {b} + \ dfrac {b} {a} \ right) + \ left (\ dfrac {b} {c} + \ dfrac {c} {b} \ right) + \ left (\ dfrac {c} {a} + \ dfrac {a} {c} \ right) \\ ~ \\\ qquad \ ge 3 + 2 + 2 + 2 \\ ~ \\\ quad \ qquad = 9 [/ matemáticas]
