En su opinión, ¿las matemáticas son únicamente un producto del intelecto humano, o de alguna manera existen como parte del universo físico?

Mi sentimiento personal;

• Diferentes civilizaciones pueden (y probablemente lo harán) enfocarse en diferentes tipos de preguntas matemáticas, y de ese modo llegarían a diferentes percepciones y resultados, pero donde haya superposiciones no habrá contradicción. Quien decida mirar grupos encontrará que A_5 es simple, y quien decida mirar enteros y cuadrados encontrará que cada entero es la suma de cuatro cuadrados.
• Si eso es cierto, no necesariamente significa que las matemáticas “existen” en cualquier sentido fuera de la mente humana. No sé en qué sentido se puede decir que “el número 3”, “el grupo A_5”, “la transformada de Fourier” existe o no, y debo agregar que no encuentro esta una pregunta particularmente interesante, si es una pregunta real en absoluto.

Los axiomas están definitivamente enraizados en la experiencia humana. Los axiomas de Peano, por ejemplo, son muy fáciles de ver para lo que podemos experimentar. Se puede percibir que un grupo de tres manzanas es la misma cantidad que un grupo de tres naranjas, y que tres naranjas son la misma cantidad que tres peras, por lo que tres manzanas son la misma cantidad que tres peras. Por lo tanto, la igualdad es transitiva. Estos axiomas provienen del universo físico, y las matemáticas se basan en estos axiomas, por lo que podemos decir que las matemáticas son realmente un producto del universo físico.

También es espectacular lo bien que las matemáticas coinciden con el universo. Por ejemplo, la geometría hiperbólica de Riemann proporcionó un contexto sorprendente para la teoría de la relatividad de Einstein. Los colectores Calabi-Yau también se han utilizado en la teoría de cuerdas como las formas en que las cuerdas tienen múltiples dimensiones.

Sin embargo, Riemann no concibió la geometría hiperbólica con la relatividad en mente. Simplemente quería ver a dónde refutar algunos de los postulados de Euclides lo conducirían, y se dio cuenta de que era una forma de geometría completamente nueva, consistente. Los colectores Calabi-Yau de la teoría de cuerdas están en el mismo bote; precedieron a la aplicación que encontraron y son útiles para el mundo real simplemente en retrospectiva.

En conclusión, la forma en que vemos el mundo informa lo que ponemos en las matemáticas a través de axiomas. Estos axiomas se convierten en los teoremas y objetos que se aplican tan bien al mundo físico, pero en realidad no representan nada en el mundo real. Son inventados por los matemáticos para avanzar en su campo. Los objetos matemáticos provienen de matemáticos, no del universo, excepto los axiomas utilizados para crearlos.

En mi opinión, las matemáticas puras son únicamente un producto del intelecto; pero el intelecto no necesita ser humano. El hecho de que distintos humanos hayan realizado los mismos descubrimientos matemáticos no implica que las relaciones descubiertas tengan existencia física, solo que son lógicamente válidas dentro del contexto de alguna abstracción matemática acordada. Lo mismo para los extraterrestres, que probablemente descubrirían los mismos principios matemáticos básicos que tienen los humanos. (Básico; pero no necesariamente avanzado, ya que queda mucho por descubrir).

Por otro lado, en la medida en que apliquemos las matemáticas para modelar nuestro mundo físico, esperaría modelos similares de intelectos no humanos porque las leyes físicas del universo son las mismas en todas partes.

No se deje engañar por el hecho de que la mayoría de las matemáticas a las que la gente común ha estado expuesta se usa para modelar la realidad. Entre los matemáticos puros, existen muchas relaciones matemáticas válidas para las cuales no existe una conexión conocida con la realidad física. A veces se descubre una forma de aplicar esas matemáticas puras mucho después de que se desarrollaron las matemáticas puras iniciales.

Solo una nota de que la pregunta actual es una falsa dicotomía, ya que es posible que ninguno de los dos sea el caso.

La palabra Matemática se usa de muchas maneras, pero en este contexto hay una colección de declaraciones verdaderas necesarias de la forma “If (algún conjunto de axiomas) entonces (algún conjunto de conclusiones que pueden derivarse de esos axiomas). Estas declaraciones necesariamente verdaderas De hecho, tienen una estructura increíblemente rica, profunda y hermosa. No dependen del intelecto humano ni de las palabras humanas que usamos para asociarnos con esos axiomas y conclusiones. Esa estructura puede ser descubierta por cualquier inteligencia y será independiente de esa inteligencia. La inteligencia humana puede elegir qué regiones de esa estructura investigar y qué palabras asociar con esa estructura, pero no tenemos libertad para cambiar esa estructura ni un ápice. Lo que es profundamente interesante es que cuando miramos el universo físico parecemos ver Una fuerte correspondencia entre la rica estructura de las Matemáticas y la estructura del universo que observamos.

Los axiomas matemáticos provienen de la conciencia.

Evolucionamos hasta el punto de poder separar “uno” de “nada” y “uno” de “dos”.

Toda nuestra matemática superior se basa en estos axiomas y, sin embargo, no se pueden probar. Nadie argumenta que uno es diferente de ninguno porque tiene mucho sentido para nosotros. ¿Por qué? Porque tenemos un cerebro diseñado para agrupar campos visuales en objetos.

Lo curioso es que, después de desarrollar una matemática y física cuántica superiores, descubrimos que en la verdadera naturaleza del universo, es bastante difícil precisar “un” objeto.

Es probable que otras entidades conscientes hayan desarrollado algunos axiomas similares, pero también es posible que existan otros sistemas matemáticos tan extraños para nuestras mentes que nunca podríamos comprenderlos.