La integral de la superficie vectorial de la cantidad vectorial es el flujo neto y la divergencia de la cantidad vectorial es la cantidad vectorial total que produce o hunde otras palabras, fuentes totales o sumideros de la cantidad vectorial. Entonces físicamente podemos ver,
“La cantidad vectorial total producida o hundida dentro de la superficie cerrada en todo el volumen es igual a la flexión neta de esta cantidad vectorial a través del límite del volumen”.
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Consideremos que S es una superficie cerrada de tal manera que ninguna línea paralela a los ejes de coordenadas la corta en más de dos puntos. Por lo tanto, S es una superficie de doble valor sobre su proyección en la región D en el plano XY. S se compone de 2 sub-superficies, superficie inferior S1 y superficie superior S2.
S1: z = f1 (x, y) que consiste en puntos (x, y, f1)
S2: z = f2 (x, y) que consiste en puntos (x, y, f2)
Ahora, suponiendo una cantidad vectorial, F = Fx i + Fy j + Fz k
La cantidad total de vectores producida o hundida dentro de S en todo el volumen V
Tomando parte,
Desde la superficie superior S2 donde la unidad normal η2 forma un ángulo con el eje Z, entonces η2.k = cosθ2
Superficie inferior S1 donde la unidad normal η1 forma un ángulo con el eje Z y luego η1.k = -cosθ1
Por lo tanto, las proyecciones son, S2: dxdy = cosθ2 dS2 y S1: dxdy = -cosθ1 dS1
Similar,
Por lo tanto,
Teorema de divergencia de Gauss tiene mucha aplicación en la vida real en la ley de Gauss , la ecuación de continuidad , la ley del cuadrado inverso , etc.
Para más consulta:
La idea detrás del teorema de divergencia
Prueba del teorema de divergencia de Gauss-Ostrogradsky, ejemplo
Teorema de divergencia. Prueba.
Teorema de divergencia: definición, aplicaciones y ejemplos | Study.com
