Si [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1! = 1 [/ matemáticas], entonces, ¿qué tiene de malo mi justificación de que [matemáticas] 0 = 1 [/ matemáticas]?

[matemáticas] \ begin {align *} (-1) ^ 2 & = 1 \\ 1 ^ 2 & = 1 \\ (-1) ^ 2 & = 1 ^ 2 \\ -1 & = 1 \\ \ end {align *} [/matemáticas]

¿Es esto cierto? Por supuesto no.
¿Qué hay de malo en este razonamiento?
El salto del tercer paso al último paso es incorrecto. La función cuadrada no es una función uno a uno. Esto significa que puede devolver el mismo valor para diferentes entradas (por ejemplo, [matemática] 3 [/ matemática] y [matemática] -3 [/ matemática])
La función factorial también es similar. No es una función uno a uno (función inyectiva)

Ejemplos:

1. Esta función no es inyectiva ya que tanto [math] f (1) [/ math] como [math] f (2) [/ math] devuelven el valor [math] d [/ math].

2. Esta función es inyectiva porque cada elemento del conjunto [matemático] X [/ matemático] está relacionado con un solo elemento del conjunto [matemático] Y [/ matemático].

En general, solo si ‘[math] f [/ math]’ es una función inyectiva, ¿puede decir que
[matemáticas] f (x) = a [/ matemáticas]
[matemáticas] f (y) = a [/ matemáticas]
Por lo tanto [matemáticas] x = y [/ matemáticas].

Como la función factorial no es inyectiva, esta prueba no es válida.

Si está interesado en saber por qué [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas], mire este video.

Si soy humano y tú eres humano , ¿qué hay de malo en mi justificación de que soy tú ?

Bueno, hay más de nosotros que clasificamos como humanos. Clasificar un espécimen a su especie, no es una relación uno a uno. O, como dicen los matemáticos, no es una función inyectiva.

La función factorial tampoco es inyectiva, porque ambas [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1! = 1 [/ matemáticas].

Otra función no inyectiva es [matemática] f (x) = x ^ 2 [/ matemática]. Mientras que [matemática] (- 3) ^ 2 = ([/ matemática] [matemática] +3) ^ 2 = 9 [/ matemática], no podemos concluir que [matemática] -3 = +3 [/ matemática], ¿Derecha?

Si f (x) = z y f (y) = z, entonces no se puede decir que x es igual a y. Cualquier caso simple servirá, por ejemplo, f (x) = (x-2) ^ 2 dará el mismo resultado para 1 y 3. 1 no es igual a 3. Su justificación falla porque su función no le da un valor único para cada valor x

Su justificación falla porque no hay garantía de que dos números diferentes no puedan tener el mismo factorial. Para poder inferir de [matemáticas] f (x) = f (y) [/ matemáticas] que [matemáticas] x = y [/ matemáticas], la función [matemáticas] f [/ matemáticas] debe ser inyectiva. Muchas funciones no lo son. Por ejemplo, [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas]. La función factorial es solo otra que no lo es.

Entonces, ¡estás comenzando con 0! = 1 y 1! = 1, y desde allí indicando que 0! = 1 !. Esto está bien, pero te encuentras con un problema al intentar quitar los factoriales. No puede simplemente quitarse el factorial porque la función factorial no es uno a uno; múltiples valores de x pueden escupir la misma x !.

Veamos otra función que no es uno a uno para otro ejemplo: f (x) = sin (x). Es cierto que sin (0) = sin (2pi). Sin embargo, esto no significa 0 = 2pi.

Espero que arroje algo de luz sobre su pregunta.

Lo que está mal es que trataste el signo de exclamación como una variable en tu deducción. El signo de exclamación representa la función factorial, no una variable. Revisaré lo que hiciste y señalaré dónde te equivocaste.

[matemáticas] 0! [/ matemáticas] = [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1! [/ matemáticas] = [matemáticas] 1 [/ matemáticas] [Bien, hasta ahora todo bien]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] 0! [/ math] = [math] 1! [/ math] [Esta es la parte que olvidó incluir. Esto sería correcto.]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] 0 [/ math] = [math] 1 [/ math] [No, esto está mal. Aquí es donde trataste el factorial como una variable. Dividiste ambos lados por factorial.]

Sería algo así como decir lo siguiente:

[matemáticas] 6 + 6 [/ matemáticas] = [matemáticas] 12 [/ matemáticas] y [matemáticas] 9 + 3 [/ matemáticas] = [matemáticas] 12 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow [/ matemática] [matemática] 6 + 6 [/ matemática] = [matemática] 9 + 3 [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow [/ matemática] [matemática] 6 [/ matemática] [matemática] \ cdot [/ matemática] [matemática] 6 [/ matemática] = [matemática] 9 [/ matemática] [matemática] \ cdot [/ matemáticas] [matemáticas] 3 [/ matemáticas] [¡¿Qué ?! Dividí ambos lados entre más? Además no es una variable. ¡Plus es una señal de operación! (operador binario para ser exactos) ¡No puedo hacer eso!]

[math] \ Rightarrow [/ math] [math] 36 [/ math] = [math] 27 [/ math] [Que, ni que decir tiene, es incorrecto]

No eres el único. Muchos estudiantes cometen este error cuando se presentan por primera vez a operadores unarios.

[matemáticas] 0! \ neq 1 [/ matemáticas]

Dejame explicar.

Si ha estudiado los conceptos básicos de permutación y combinación, ya sabe que el número de formas en que se pueden sacar las cosas de x cosas, sin tener en cuenta el orden, es

[matemáticas] _ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!} \ quad [/ matemáticas]

Entonces, si tiene seis libros y desea tomar 3 libros de ellos, puede hacerlo en

[matemáticas] _ {6} P_ {3} = \ frac {6!} {3! (6-3)!} \ quad = 120 [/ matemáticas]

formas. Frio. Pero cuando decides que quieres tomar los seis libros a la vez de los seis libros, puedes hacerlo de una sola manera, ¿verdad? Solo habría una forma de reorganizar seis libros de seis libros. ¡Sentido común!

Veamos qué sugieren las matemáticas. El número de formas en que se pueden sacar 6 libros de 6 cosas, sin tener en cuenta el orden, es

[matemáticas] _ {6} P_ {6} = \ frac {6!} {6! (6-6)!} \ quad = \ frac {6!} {6! 0!} \ quad [/ matemáticas]

Ahora espera un segundo. El factorial de un número entero es la multiplicación de todos los números enteros a partir de 1 hasta ese número. Por esa lógica, obviamente

[matemáticas] 0! = 1 \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

Pero si pones [matemáticas] 0! = 0 [/ matemática] en las ecuaciones anteriores (la que tiene seis libros de seis libros), terminaría con un número infinito de formas en que podría sacar seis libros de seis libros.

[matemáticas] _ {6} P_ {6} = \ frac {6!} {6! (6-6)!} \ quad = \ frac {6!} {6! 0!} \ quad = \ infty [/ matemáticas]

Pero la practicidad sugiere lo contrario. Siempre hay una sola forma de sacar seis libros de seis libros sin considerar el orden de los libros. Incluso si tuviera en cuenta el orden, solo habría seis formas, no infinitas.

Para dar cuenta de eso, es decir, para garantizar que las matemáticas no contradigan la practicidad, los matemáticos pensaron que sería más fácil si todos estuviéramos de acuerdo en que [matemáticas] 0 = 1 [/ matemáticas]. Todos nuestros problemas se resuelven entonces.

Todas las otras respuestas sugieren que solo porque una función emita lo mismo para dos entradas diferentes no significa que las entradas sean iguales. Obviamente es la mejor respuesta, pero pensé que ayudaría a ver eso desde otra vista.

Tengo una función llamada [math] \ textrm {one} [/ math]. Esto asigna cualquier número real al número [matemática] 1 [/ matemática].

[math] \ textrm {one} (x) = 1 [/ math] para todos [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math].

Entonces [math] \ textrm {one} (0) = 1 [/ math], [math] \ textrm {one} (1) = 1 [/ math], [math] \ textrm {one} (- 6.34897342) = 1 [/ math], [math] \ textrm {one} (\ pi) = 1 [/ math], [math] \ textrm {one} (\ sqrt {7}) = 1 [/ math], etc. entender la deriva

¡Espero que le resulte ridículo si afirmo que la existencia de la función anterior justifica que todos los números reales son iguales entre sí !

Bueno, 0 no es igual a 1 (en los números naturales), por lo que lo único que puede concluir es que la función factorial no es inyectiva.

En cuanto a por qué el 0 no es igual a 1, cualquier modelo de axiomas de Peano debe satisfacer [matemáticas] n + 1 \ neq n. [/ math] El modelo estándar de los números naturales usa el conjunto vacío para representar 0, y [math] n \ cup \ {n \} [/ math] para representar [math] n + 1. [/ matemáticas] Lo más importante, este modelo satisface los axiomas de Peano.

Sea [math] f (x) [/ math] el “padre de [math] x [/ math]”, una función que asigna a cada persona a su padre, y denota esto con un signo de interrogación, es decir,

[matemáticas] x? = f (x) [/ matemáticas]

Ahora considere a Alice ([matemáticas] a [/ matemáticas]) y su hermano Bob ([matemáticas] b [/ matemáticas]). Luego

[matemáticas] a? = b? [/ matemáticas]

¿Eso implica que [matemáticas] a = b [/ matemáticas], es decir, que Alice es Bob?

Lo mismo sucede cuando intenta cancelar con [math] x! [/ Math] y otras funciones no inyectivas como [math] x ^ 2 [/ math].

Después de aprender la ley de cancelación por suma, los estudiantes parecen sentir que finalmente pueden vengarse de esos “malditos números” y literales, y luego tienden a usarlos en exceso, pensando que hay alguna ley general del tipo “si hay algo igual en a ambos lados de un signo de igualdad o barra de fracción, puedo tacharlo “. Pero incluso con la multiplicación falla en general. Entonces debes tener cuidado.

Debido a que la propiedad f (a) = f (b), entonces a = b solo se aplica a las funciones inyectivas (de hecho, es la definición de inyectividad). No todas las funciones son inyectivas. La función factorial no es inyectiva, por lo tanto, no puede tener 0! = 1! => 0 = 1.

Hay muchas funciones que no son una a una. Para todas las variables simples, muchas a una función, si f (x) = f (y), entonces no significa que x = y. Ejemplo de función cuadrada, sen, cos, etc. Para factorial, es uno a uno para todos los enteros> 1 bot para 1 y 0. 1! = 0! = 1, pero eso no significa 0 = 1.

La función factorial es solo eso: una función. Las entradas múltiples pueden tener la misma salida, pero eso no hace que las entradas sean equivalentes.

Ejemplo:

Si f (x) = x ^ 2, entonces

f (2) = 4 y

f (-2) = 4. Claramente, 2 no es igual a -2.

Esta es una respuesta algo menos compleja:

Cuando llegas a la segunda ecuación, no obtienes 0 = 1, ¡más bien 0! = 1!

A partir de aquí, debe aplicar la función factorial inversa, que se define, para una entrada de uno, a la salida 0/1.

1 = 1 = 0! = 1!

0/1 = 0/1

Ambas son declaraciones igualmente válidas (0 = 0, 1 = 1) pero su mutación 0 = 1 no es matemáticamente sensata.

Se podría usar una analogía con la función de raíz cuadrada:

3 ^ 2 = 9

(-3) ^ 2 = 9

sqrt (9) = +/- 3

sqrt (9) = sqrt (9)

3 = 3

Si decides que sqrt (9) = 3.

-3 = -3

Si decides que sqrt (9) = -3,

pero nunca 3 = -3.

Ya hay algunas respuestas muy buenas aquí. Intentaré responder con lo que he aprendido hasta ahora.

Si [math] \ dfrac {2} {4} = \ dfrac {1} {2} [/ math], ¿dices [math] 2 = 1 [/ math] y [math] 4 = 2 [/ math] , lo que significa que [matemáticas] 1 = 2 = 4 [/ matemáticas]?

Lo sabemos

[matemáticas] n! = n (n-1)! [/ matemáticas]

Pongamos [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1! = 1 (0!) [/ ​​Matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1 = 1 (0!) [/ ​​matemáticas]

[matemáticas] \ implica 0! = 1 [/ matemáticas]

¿Está de acuerdo en que [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas] están en el conjunto de números reales?

Dados dos números reales, [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], podemos tener exactamente una condición [matemática] a b [/matemáticas]. Esta es la regla de la tricotomía.

Tome la diferencia de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas], obtendrá [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Usando los Axiomas de Peano, son dos números naturales consecutivos, y dos números naturales no pueden ser iguales si difieren en [matemática] 1 [/ matemática]. Podemos usar esta regla ya que cualquier número natural es un número real.

Sé que esta es una pregunta básica y aquí es donde más me cuesta, por lo que cualquier comentario o corrección son bienvenidos

0! es solo la cantidad de formas en que puede organizar 0 objetos, que obviamente es uno. ¡Esto también es lo mismo para 1! Los factoriales son solo la cantidad de formas en que puede organizar N objetos. 🙂

La función factorial no es invertible cuando su dominio se define como [math] \ mathbb {N} [/ math] (donde [math] \ mathbb {N} [/ math] incluye cero). Esto es porque [matemática] 0! = 1! [/ Matemática] por lo que la función no es inyectiva.

También podría escribir: [matemáticas] \ quad (-1) ^ 2 = (+ 1) ^ 2 \ implica -1 = + 1 [/ matemáticas].

Esto está mal precisamente por la misma razón.

En lenguaje ordinario decimos:

“Un tomate aplastado es desordenado”

“Una naranja aplastada es desordenada”

y sabemos que eso no justifica creer que los tomates son naranjas.

Del mismo modo, si decimos:

“Factorial cero es uno”

“Un factorial es uno”

entonces sabemos que no justifica creer que cero es uno.

Creo que una buena razón es que estás hablando de formas de combinar cosas. Que es la realidad física de la misma. Si 0! No fue igual a 1 de lo que no tendría pi.