Si realmente tenía una buena manera de representar cervezas por polinomios, de modo que ciertos conceptos naturales “teóricos de la cerveza” se codificaron en conceptos naturales “teóricos polinómicos”, entonces debería esperar poder hacer una buena teoría de la cerveza simplemente trabajando con sus representaciones polinomiales. El hecho de que no esperes esto simplemente refleja que no esperas poder encontrar una forma realmente buena de representar cervezas por polinomios.
Con eso en mente, la pregunta es realmente “¿Por qué hay una buena manera de representar secuencias con polinomios?”. Y aquí, debemos recurrir a nuestra comprensión de lo que son los polinomios: los polinomios son solo operaciones que puede llevar a cabo en cualquier contexto con una buena noción de escala, suma y multiplicación. Cualquier polinomio es una combinación de scalings, adiciones y multiplicaciones, y cualquier combinación de scalings, adiciones y multiplicaciones produce un polinomio.
Ok, pero ¿cuáles son las buenas nociones de escala, suma y multiplicación en el contexto de secuencias? Bueno, la escala y la suma son la estructura definitoria de un espacio vectorial, y las secuencias son solo los elementos de un espacio vectorial de dimensión infinita. Y con cualquier espacio vectorial, hay una buena explicación de cómo hacer aritmética con operadores lineales; es decir, uno puede multiplicar operaciones componiéndolas (realizando una tras otra), y escalarlas / agregarlas escalando / agregando sus salidas puntiagudas (por lo que vale, la aritmética de operadores lineales en un espacio vectorial también se explica y se usa , por ejemplo, en este contexto aparentemente no relacionado:
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Entonces, sabemos que los polinomios pueden representar naturalmente manipulaciones de operadores lineales que transforman secuencias en otras secuencias. En particular, una transformación muy natural y omnipresente es la que toma una secuencia y escupe la secuencia retardada . Llame a este operador d; entonces d * d es el operador “Tomar una secuencia y anteponer dos ceros”, d * d * d es “Tomar una secuencia y anteponer tres ceros”, y así sucesivamente. d + 1 es “Tomar una secuencia, retrasarla y agregar el resultado puntiagudo a la secuencia original”. d * d – 2d + 1 es “Tomar una secuencia, anteponer dos ceros, restar dos veces el resultado de anteponer un cero a la secuencia original y volver a agregar la secuencia original”, que es equivalente a (d – 1) * ( d – 1), que es “Tomar una secuencia, anteponer un cero y restar la secuencia original. Luego hacer esta transformación nuevamente al resultado”. Todas las reglas normales de suma y multiplicación funcionan interpretadas en este contexto, tal como lo hacen cuando se interpretan de esta manera para los operadores lineales en cualquier espacio vectorial.
Y cuando uno representa una secuencia como un polinomio, lo que uno realmente está haciendo es construir el polinomio (único) que envía el operador “cambio por uno” a la combinación (única) de desplazamientos, escalas y adiciones que enviarían la secuencia a . (Es decir, simplemente diciendo lo mismo en una terminología diferente, el polinomio que envía el operador de “retraso” al operador lineal invariante en el tiempo cuya respuesta al impulso es )
