En otras palabras, ¿por qué [math] e ^ {i \ theta} [/ math] es igual a [math] \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math]?
Comencemos con [math] i [/ math]. Qué significa eso? Esto requiere mucha visualización, y nunca lo he visto mejor que en este cortometraje. Mire al menos los primeros once minutos antes de continuar para asegurarse de comprender completamente este concepto: ¹
Para recapitular: de la misma manera que multiplicando un número por -1 lo gira alrededor del origen por 180 grados, multiplicando un número por [matemáticas] i [/ matemáticas] lo gira 90 grados alrededor del origen. De hecho, multiplicar un número por cualquier unidad compleja (un número que es exactamente 1 desde el origen, que, si se dibuja en el plano complejo, es un punto en lo que llamamos el círculo de la unidad ) representa una rotación alrededor del origen por un específico ángulo. Llamamos a este ángulo el argumento del número. Como viste en el video, multiplicar dos números complejos solo agrega sus argumentos.
Así que ahora estamos hablando del círculo unitario, y afirmaré aquí que tanto [math] e ^ {i \ theta} [/ math] como [math] \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math ] son dos formas de representar la unidad compleja cuyo argumento es [math] \ theta [/ math]. En particular, la unidad que se ha girado en sentido antihorario desde la línea real positiva en un ángulo exactamente [matemático] \ theta [/ matemático]. En otras palabras, son iguales porque ambos representan el mismo número complejo. ¿Pero por qué lo hacen?
El que tiene las funciones trigonométricas es un poco más sencillo de ver. Esta se llama la representación rectangular de la unidad compleja en cuestión. Esto se debe a que proporciona el número en términos de sus coordenadas cartesianas de la misma manera que aprendió sobre ellas en la escuela: una coordenada xy una coordenada y. Debido a que los ejes x e y están en ángulo recto entre sí, la representación es rectangular. ¿Consíguelo?
Si recuerda alguna trigonometría, recordará que para un punto dado en un círculo unitario que se rota por ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] lejos de la línea real positiva (el eje x), su coordenada x es dado por [math] \ cos \ theta [/ math] y su coordenada y está dada por [math] \ sin \ theta [/ math]. Uno podría considerar que esta es la definición de seno y coseno. Por lo tanto, dado que en el plano complejo, el eje x es la línea real y el eje y es la línea puramente imaginaria, podemos representar este punto en ángulo [math] \ theta [/ math] como [math] \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ math] exactamente como se prometió.
El lado izquierdo de la identidad de Euler (como está escrito al comienzo de esta respuesta) describe el número complejo usando su representación polar . Recordará del video que una representación polar también requiere dos parámetros: un módulo (radio) y un argumento (ángulo). El primero dice en qué círculo centrado en el origen se encuentra el punto representado y el segundo dice en qué parte del círculo se encuentra. Ya sabemos en qué círculo se encuentra nuestra unidad compleja (el círculo de la unidad), razón por la cual el único parámetro que ves en la identidad de Euler es [math] \ theta [/ math] .²
Verifiquemos que esta representación polar funciona de la forma en que pensamos que debería funcionar, de acuerdo con las reglas que queremos que sigan los números complejos. En particular, como viste en el video, queremos que al multiplicar dos números complejos se agreguen sus argumentos. Intentemos eso con dos unidades complejas cuyos ángulos son [matemática] \ alpha [/ matemática] y [matemática] \ beta [/ matemática]:
[matemáticas] (e ^ {i \ alpha}) (e ^ {i \ beta}) [/ matemáticas]
De acuerdo con las reglas de exponenciación, si las bases son las mismas, puede combinarlas en un factor sumando los exponentes.
[matemáticas] e ^ {i \ alpha + i \ beta} = e ^ {i (\ alpha + \ beta)} [/ matemáticas]
Está claro que el producto resultante es una nueva unidad compleja con argumento [math] \ alpha + \ beta [/ math] exactamente como se desea. Entonces parece que una expresión exponencial de alguna forma es exactamente lo que queremos para nuestra representación polar. ¿Pero por qué esta expresión exponencial particular ?
Bueno, eso es un poco más complicado de explicar.
Al menos debería estar claro por qué necesitamos la i en el exponente. Los ángulos se dan como números reales (es decir, tipos regulares de números utilizados para medir cosas que no tienen un componente imaginario), por lo que si no pusiéramos algo no real en el exponente, terminaríamos con algo que parecía un número real positivo a una potencia real. Si alguna vez has hecho alguna exponenciación, sabrás que elevar un número real positivo a una potencia real siempre te da otro número real positivo. [matemáticas] 2 ^ 3 = 8 [/ matemáticas], [matemáticas] 100 ^ {\ frac {1} {2}} = 10 [/ matemáticas]. Por más que lo intentes, no puedes juntar esas cosas para obtener nada más que números reales. Entonces, no debemos poner un número real en alguna parte. El número no real más simple es i , y resulta que todo funciona bien cuando lo ponemos en el exponente.
Entonces, ¿por qué elegimos el número de Euler [math] e \ approx2.718281828 [/ math] para la base?
Bueno, no tenemos que elegir exactamente esa base. Podríamos, al cambiar la forma en que medimos nuestro ángulo [math] \ theta [/ math], elegir que sea la base que queramos. Sin embargo, los matemáticos han decidido que la forma más simple y conveniente de medir ángulos es asignándoles el mismo valor que la longitud del arco que interceptan en el círculo unitario. O, en términos elementales, los matemáticos básicamente dicen que si ordena una pieza con un radio de 1 pie, luego corta una rebanada de pizza en forma de cuña perfecta, la medida del ángulo que forma el punto de esa rebanada de pizza es igual a la longitud de su corteza exterior en pies. Este sistema llama un ángulo recto [math] \ pi [/ math] y un ángulo recto se llama [math] \ frac {\ pi} {2} [/ math]. Elegir este sistema para medir ángulos (llamados radianes ) hace que escribir muchos datos sobre círculos y otras formas sea mucho más fácil.
También permite a los matemáticos, al especificar que [matemáticas] \ cos \ theta [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sen \ theta [/ matemáticas] tomen sus ángulos de entrada en radianes, elijan e para la base de su representación polar en números complejos y mantener la identidad de Euler. De hecho, elegir cualquier otro esquema haría que la medición del ángulo sea más complicada o que la base de la exponencial sea más difícil de describir, y es este último hecho el que hace que la identidad sea tan notable.
Se ha mencionado en otras respuestas que esta identidad tiene porque, en la expansión de la serie Taylor para [math] e ^ x [/ math], los términos se parecen a los de la serie para [math] \ sin x [/ math] y [ matemática] \ cos x [/ matemática], pero, por un lado, esta afirmación abandona el territorio de la “explicación laica”, y por otro, no es inmediatamente intuitiva y parece casi más una justificación que una explicación, entonces omitiré repetir estos detalles.
Notas al pie:
¹Si no puedes entender todas las matemáticas que se hacen en el video, tampoco entenderás el resto de esta explicación. No hay una buena manera de entender la identidad de Euler sin al menos una base sólida en álgebra y geometría coordinada.
²Si desea incluir también el módulo, simplemente multiplique ambos lados de la identidad por r . Esto no requiere ninguna explicación adicional para comprender, por lo que generalmente se omite de la “identidad”.
