El axioma de elección todavía se requiere para demostrar que existe una función de elección para una familia infinita de conjuntos finitos. Que una función de elección existe para una familia finita de conjuntos (de cualquier tamaño) puede probarse en ZF sin el axioma de elección.
La trampa aquí parece ser bastante buena para hacer tropezar a la gente. Cuando se descubrió por primera vez el axioma de elección, fue mediante el examen cuidadoso de una prueba escrita por alguien que no sabía que se estaba utilizando una nueva suposición. Parece ser realmente fácil usar el axioma de elección por accidente.
Cohen demostró que si había un modelo de ZF, entonces hay un modelo de ZF en el que el axioma de elección es falso. Usando métodos similares, Levy construyó un modelo en el que hay lo que se conoce como conjuntos “infinitos amorfos”. Un conjunto infinito amorfo [matemática] S [/ matemática] es un conjunto que no es finito, pero todos los subconjuntos de [matemática] S [/ matemática] son finitos o iguales a [matemática] S [/ matemática] con un conjunto finito eliminado. Quizás ayude a entender qué opción se necesita para pensar en ellas.
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El hecho de que [math] S [/ math] es infinito implica que tiene un elemento [math] x_0 [/ math]. El hecho de que [math] S [/ math] es infinito implica también que no es [math] \ {x_0 \} [/ math], por lo que hay algún elemento en él distinto de [math] x_0 [/ math] , que podemos llamar [matemáticas] x_1 [/ matemáticas]. A veces la gente pregunta por qué está bien que nombremos los elementos de un conjunto como este si no tenemos la capacidad de “elegir” elementos. Es solo porque así es como funciona el cálculo predicado; si tenemos un hecho de la forma “existe una [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] P (x) [/ matemática]”, entonces podemos proceder asumiendo que [matemática] P (x ‘ ) [/ math] donde [math] x ‘[/ math] es un nuevo nombre de variable.
Razonando de esta manera, podemos demostrar por inducción que para cada [matemática] n [/ matemática], existe un conjunto finito con elementos [matemáticos] n [/ matemáticos] en [matemática] S [/ matemática]. Si [math] \ {x_0, …, x_ {n-1} \} [/ math] es un subconjunto de [math] S [/ math], y [math] x_n [/ math] es otro elemento de [math ] S [/ math], luego [math] \ {x_0, …, x_n \} [/ math] es un subconjunto de [math] S [/ math]. Del mismo modo, [math] S – \ {x_0, …, x_n \} [/ math] es un subconjunto infinito de [math] S [/ math]. Desafortunadamente (o tal vez de manera interesante) no hay forma en ZF de demostrar que hay otros subconjuntos de [matemáticas] S [/ matemáticas], y de hecho hay modelos como el descrito por Levy en el que algunos conjuntos tienen solo esos finitos y subconjuntos co-finitos como subconjuntos.
Lo que estamos tentados a decir es que si “continuamos”, obtenemos un subconjunto infinito contable [matemática] \ {x_0, x_1, … \} [/ matemática] de [matemática] S [/ matemática]. A veces esto se presenta como una prueba informal de que cada conjunto infinito tiene un subconjunto infinitamente contable. Pero el “seguir adelante” es algo más complicado de lo que parece en la superficie.
¿Cómo podemos definir qué es (digamos) [matemáticas] x_k [/ matemáticas]? Hablando rigurosamente, en este caso lo que necesitamos es que no solo sea cierto que para cada subconjunto finito [matemática] F [/ matemática] de [matemática] S [/ matemática] exista alguna [matemática] x [/ matemática] en [matemática] S [/ matemática] pero no en [matemática] F [/ matemática], pero que de alguna manera podemos ensamblar un conjunto de pares [matemática] (F, x) [/ matemática] donde [matemática] F [/ matemática] es un subconjunto finito de [matemática] S [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] está en [matemática] SF [/ matemática], que tiene solo un par para cada [matemática] F [/ matemática] . Esto es lo que dice el axioma de elección. Con una forma tan consistente de elegir elementos de [math] S [/ math], podemos definir inductivamente el conjunto [math] \ {x_0,… \} [/ math]. Si tenemos esa función de elección, entonces podemos definir la [matemática] x_i [/ matemática] por inducción para que cada una sea la opción elegida para evitar las elecciones anteriores. Sin opción, estamos atascados con la adición y eliminación de elementos individuales solamente, y los únicos subconjuntos que podemos estar seguros de que existen de esa manera son los subconjuntos finitos y co-finitos.
Para una familia finita [matemática] R [/ matemática], el axioma de elección no es necesario, porque podemos probar por inducción que existe una función de elección. Esta es esencialmente la definición de “finito”: cualquier familia [matemática] T [/ matemática] de subconjuntos de [matemática] R [/ matemática] que contiene el conjunto vacío, y de tal manera que podamos agregar un nuevo elemento individual, contiene todos los subconjuntos de [math] R [/ math] incluyendo [math] R [/ math] en sí. (Más formalmente, suponemos que [math] T [/ math] tiene la propiedad de que si [math] U [/ math] es un subconjunto de [math] T [/ math] y [math] S [/ math] es un elemento de [math] R [/ math], luego [math] U \ cup \ {S \} [/ math] también es un elemento de [math] T [/ math].)
Para cualquier familia [matemática] R [/ matemática] de conjuntos no vacíos, ya sea finita o no, podemos considerar la familia [matemática] T [/ matemática] de subconjuntos de [matemática] R [/ matemática] para la cual hay funciones de elección , y [math] T [/ math] siempre tiene la propiedad inductiva descrita anteriormente. La familia vacía tiene el conjunto vacío como una función de elección. Si [math] U [/ math] es una subfamilia de [math] R [/ math] para la cual existe una función de elección [math] C [/ math] y [math] S [/ math] es un elemento de [ matemática] R [/ matemática] no está en [matemática] U [/ matemática], entonces porque [matemática] S [/ matemática] no está vacía, tiene un elemento [matemática] x [/ matemática]. Entonces [math] c \ cup \ {(S, x) \} [/ math] es una función de elección para [math] U \ cup S [/ math].
Por lo tanto, todas las subfamilias finitas tienen funciones de elección, porque agregar un solo conjunto a la familia todavía lo deja “elegible”.
Hablamos todo el tiempo de manera informal como si estuviéramos haciendo operaciones con objetos matemáticos en pruebas. Describimos pequeños procesos. Esta forma de pensar parece ayudar a las personas a trabajar con pruebas. Por otro lado, creo que este hábito es en parte responsable de por qué el axioma de elección parece una suposición innecesaria al principio. Tendemos a imaginarnos a nosotros mismos como si tuviéramos el “poder” de tomar un ejemplo cada vez que sabemos que existe un ejemplo. Tiene un poco parecido al constructivismo. Pero, de hecho, solo estamos deduciendo una serie de verdades. Cuando decimos algo como “haz lo mismo a todos los conjuntos de esta familia”, debemos reconocer que la existencia de una forma de hacerlo para cada miembro de la familia por separado no es lo mismo que haber uno forma coherente de hacerlo para todos ellos (“al mismo tiempo”).
Los lógicos hablan de pruebas infinitas todo el tiempo. Sin embargo, hay algunos problemas que hay que tener cuidado. Una cuestión relativamente obvia es que para que sean de interés, deben estar “bien fundados”, lo que significa que no hay una cadena infinita de dependencias como [matemáticas] …, \ pi + 4 = 8, \ pi + 3 = 7, \ pi + 2 = 6, \ pi + 1 = 5, \ pi = 4 [/ math] donde cada enunciado sigue lógicamente al anterior, pero toda la cadena es incorrecta. En su caso, si quisiera tener infinitas variables [matemáticas] x_0,… [/ matemáticas] y luego referirse a [matemáticas] \ {x_0,… \} [/ matemáticas], la validez de su sistema deductivo dependería implícitamente en el axioma de elección. La inducción solo muestra que cada subconjunto finito de las variables se puede asignar al mismo tiempo (lo que para una prueba finita es suficiente). Que exista una manera de asignarlos a todos al mismo tiempo requiere el axioma de elección en general.
