Esto es realmente solo una pregunta sobre un proceso determinista específico de Markov. Específicamente, queremos mostrar que el proceso de Markov definido por [math] len (n) [/ math] tiene un estado de absorción único.
Paso 1: demuestre que esto se cumple si consideramos que todos los números (naturales) son menores o iguales a 10. Esto es solo una cuestión de verificación manual:
“Uno” Len (1) = 3
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“Dos” Len (2) = 3
“Tres” Len (3) = 4
“Cuatro” Len (4) = 4
“Cinco” Len (5) = 4
“Seis” Len (6) = 3
“Siete” Len (7) = 5
“Ocho” Len (8) = 5
“Nueve” Len (9) = 4
“Diez” Len (10) = 3
Puede verificar fácilmente que todo esto vaya a 4 en solo uno o dos pasos. Entonces, si hiciéramos una matriz de 10 × 10, habría un estado de absorción único. En otras palabras, [math] len ^ 2 (n) = 4 [/ math] para todos [math] n \ leq 10, [/ math] estamos escribiendo [math] len ^ 2 (n) [ / matemáticas] significa [matemáticas] len (len (n)). [/ math] De hecho, como [math] len (4) = 4 [/ math], podemos escribir [math] len ^ m (n) = 4 [/ math] para todos [math] m \ geq 2 [ / matemáticas] [matemáticas], n \ leq 10. [/ matemáticas]
Paso 2: Muestra que para todos [matemática] n> 10 [/ matemática], [matemática] len (n) <n [/ matemática]. Está claro que para todos los números en la adolescencia, solo necesitamos agregar cuatro letras, y anteriormente nunca necesitábamos más de 5. Creo que todos estarán de acuerdo en que para los números 20–100, necesitas mucho menos de 20 letras. Para las letras 100–1000, ciertamente no necesitará 100 letras, etc. En algún momento, tendremos que agitar manualmente la gramática inglesa, porque finalmente nos quedaremos sin prefijos en inglés. Puede que no haya un nombre para un número más que un Googol, pero creo que todos pueden estar de acuerdo en que si finalmente inventamos un nombre, no se necesitarán letras de Googol para escribir.
El paso 2 implica que para una [matemática] n> 10 dada, len ^ {m} (n) \ leq 10 [/ matemática] para toda [matemática] m \ geq n – 10 [/ matemática]. (En otras palabras: cada vez que tomamos la longitud de este número, obtenemos un número estrictamente más pequeño, por lo que si seguimos tomando la longitud, vamos a alcanzar un número menor que 10.)
Por lo tanto, [math] len ^ {m} (n) [/ math] para todos [math] m \ geq n – 8 [/ math]. (Dado que, una vez que alcanzamos un número menor que 10, se necesitan como máximo dos pasos más para alcanzar 4, y luego nos quedamos en 4 para siempre).
No llamaría a cuatro un número “cósmico”, porque esto es realmente un hecho sobre el idioma inglés, y no un hecho sobre el número cuatro. Por ejemplo, suponga que todos comenzaron a escribir 2 como “to”, como lo hacen muchas personas con mala gramática. Entonces el resultado se rompe.
