¿Me pueden ayudar a resolver [matemáticas] e ^ x = 1-x [/ matemáticas]?

Sobre la base de la respuesta de Makarands:

La solución real es la obvia: x = 0

Hay muchas soluciones complejas:
[matemáticas] e ^ {x} = 1 -x [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {a} e ^ {ib} = 1 – a – ib [/ matemáticas]

Con Euler:
[matemáticas] e ^ {a} (\ cos (b) + i \ sin (b)) = 1 – a – ib [/ matemáticas]

Tomando partes reales e imaginarias:

[matemáticas] e ^ a \ cos {b} = 1 – a [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ a \ sin {b} = -b [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos {b} = \ frac {1 – a} {e ^ a} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin {b} = \ frac {-b} {e ^ a} [/ matemáticas]

Ahora cuadramos estos para obtener algo que sabemos (es decir, [matemática] 1 = \ sin ^ 2 {x} + \ cos ^ 2 {x} [/ matemática])

[matemáticas] \ cos ^ 2 {b} = \ frac {(1 – a) ^ 2} {e ^ {2a}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin ^ 2 {b} = \ frac {b ^ 2} {e ^ {2a}} [/ matemáticas]

Agregar estos da:

[matemáticas] \ sin ^ 2 {b} + \ cos ^ 2 {b} = 1 = \ frac {(1 – a) ^ 2} {e ^ {2a}} + \ frac {b ^ 2} {e ^ {2a}} [/ matemáticas]

Y tenemos una respuesta que nos da intuición para las posibles respuestas complejas: [matemáticas] e ^ {2a} = (1 – a) ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, para cualquier parte real positiva de un número complejo, existen partes imaginarias [matemáticas] b = \ sqrt {(e ^ {2a} – (1 – a) ^ 2)} [/ matemáticas] que funcionan para esta ecuación. (Gracias Anders Mortensen afinando este último paso)

Otra forma muy divertida de resolverlo podría ser utilizar la función Lambert W:

[matemáticas] e ^ x = 1 – x [/ matemáticas]
dividir ambos lados entre [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 = (1-x) e ^ {- x} [/ matemáticas]
multiplicar ambos lados por [matemáticas] e [/ matemáticas]
[matemáticas] e = (1-x) e ^ {1-x} [/ matemáticas]
en este punto, el RHS está en una forma que nos permite usar la función Lambert W.
[matemáticas] W (e) = 1- x [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 = 1-x [/ matemáticas]
[matemáticas] => x = 0 [/ matemáticas]

Como [matemática] e ^ x> = 1 [/ matemática] para [matemática] x> = 0 [/ matemática] y [matemática] 1 – x <= 1 [/ matemática] en el mismo intervalo, la única solución en [ math] [0, \ infty) [/ math] es [math] x = 0 [/ math].

Un razonamiento similar se aplica al intervalo [matemáticas] (- \ infty, 0] [/ matemáticas].

Un método para resolver la ecuación.
[matemáticas] -e ^ x = x-1 [/ matemáticas]
es por graficar.
Usa una calculadora gráfica. Grafica la función en el lado izquierdo de la ecuación como f1 (x) y el lado derecho como f2 (x):
f1 (x) = – [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas],
f2 (x) = x – 1.
Encuentra el punto de intersección de las dos curvas y lee su coordenada x. x será la solución de esta ecuación. La intersección está en x = 0. Por lo tanto, la solución es x = 0.
Verifique la respuesta: conectamos x = 0 en los lados izquierdo y derecho y encontramos
Izquierda = [matemáticas] -e ^ 0 [/ matemáticas] = -1,
Derecha = 0 – 1 = -1.
Por lo tanto, izquierda = derecha.

Oye ..

Tomar la ayuda de la gráfica siempre se beneficiará, si el problema trata con dos características diferentes de las funciones (aquí exponencial por un lado y lineal por el otro).

En el gráfico anterior, he trazado e ^ x y 1-x y se ve claramente que solo hay un punto de intersección.

En este caso fue simple pero en problemas complicados donde la resolución de las ecuaciones se vuelve más difícil, se puede adoptar el método gráfico y es muy útil.

Espero que esto haya ayudado!

En realidad, esta ecuación es típica y tiene otro enfoque agradable.
Construya la función [matemáticas] f (x) = e ^ x + x-1 [/ matemáticas].
Tomando la primera derivada de la misma, obtenemos [math] f ‘(x) = e ^ x + 1 [/ math] que siempre es positivo. Esto significa que la función f (x) está aumentando. Como x = 0 es la raíz de esa función, esa es la única.

Es bastante observable que una solución es x = 0

Ahora, veamos si hay más.

Deje f (x) = e ^ x + x – 1
f ‘(x) = e ^ x + 1
Por lo tanto, f ‘(x)> 0 para todo x

Por lo tanto, solo tendrá una raíz.

Por lo tanto, la única solución es x = 0

Respuesta actual después de un comentario de John Gerig:

No estoy seguro de si hay una respuesta algebraica a este problema, pero si representa gráficamente ambas funciones y ve dónde se cruzan, obtendrá x = 0.
-e ^ x = x-1 – Wolfram | Alpha

Respuesta anterior:
No estoy seguro de si hay una respuesta algebraica a este problema, pero si representa gráficamente ambas funciones y ve dónde se cruzan, obtendrá x = -1.
-e ^ x = x-1 – Wolfram | Alpha

Sin embargo, estoy interesado en ver si hay una forma algebraica de hacerlo.

Toma Ln de ambos lados obtienes x = Ln 1-x.
Ln no se define cuando 1-x es menor o igual a 0.
Y la x no es igual a Ln 1-x cuando x es mayor que 0. La ecuación solo es verdadera cuando x = 0. 0 = Ln 1 = 0.
Entonces x es 0.

Gracias Viktor T. Toth por señalar la parte engañosa.

Bueno, hay una solución obvia, x = 0.

No puede haber ninguna solución positiva a la derecha de la intersección de las gráficas en (0,1), ya que la gráfica de 1-x baja con el aumento de x, y e ^ x sube.

Cuando x es negativo, entonces 1-x> 1, pero e ^ x <1, por lo que tampoco hay otra solución.

Por lo tanto, la solución obvia es la única.

Podrías derivar
f (x) = – exp (x) – x + 1
f ‘(x) = – exp (x) -1 <0
Por lo tanto, f es estrictamente monótono sobre IR y, por lo tanto, inyectivo.
Como f (0) = – 1 – 0 + 1 = 0, puede concluir que hay una solución X = 0 y que esta solución es única.

La línea curva es e ^ x y la línea recta es y = 1-x. Claramente, se cruzan en un solo punto, es decir (0,1). Entonces, 0 es la única solución.

Claramente hay una solución en x = 0. Para mostrar que esa es la única solución, puede mostrar que la derivada del lado izquierdo siempre es negativa y la derivada del lado derecho siempre es positiva, pero si se encontraran en múltiples puntos, eso no puede suceder.

Y = e ^ x + x-1
Y ‘= e ^ x + 1> 0
Y es continuo y siempre en aumento
Y (-Inf) = – Inf
Y (Inf) = Inf.
Por lo tanto, exactamente una raíz real.