¿Es infinito ^ infinito contable o incontable infinito?

Las otras respuestas no parecían hacer esto, así que publicaré una que trate como prueba.

En primer lugar, tomaré como dado que todos los conjuntos contables son biject [math] \ mathbb {N} [/ math] (por definición, realmente), y supondré que lo sabes (y sabes lo que significa) [math ] | \ mathbb {N} | <| \ wp (\ mathbb {N}) | [/ math], donde [math] \ wp (\ mathbb {N}) [/ math] es el conjunto de poder de [math] \ mathbb {N} [/ math]. (Si no, busca el teorema de Cantor).

Además, como otros han señalado, exponenciales de cardinalidades, por ejemplo, [matemática] \ alpha ^ \ beta [/ matemática] donde [matemática] \ alpha = | A | [/ matemática] y [matemática] \ beta = | B | [/ / matemáticas], se utilizan para representar [matemáticas] | A ^ B | [/ matemáticas], donde [matemáticas] A ^ B [/ matemáticas] es el conjunto de funciones [matemáticas] B \ rightarrow A [/ matemáticas]. Si al principio no tiene sentido, convéncete de que [matemáticas] | A ^ B | = | A | ^ {| B |} [/ math] cuando tanto [math] A [/ math] como [math] B [/ math] son ​​finitos.

Usaremos las siguientes inyecciones, con CBS, para concluir que [math] \ mathbb {N} ^ \ mathbb {N} \ cong \ wp (\ mathbb {N}) [/ math]:

[math] \ begin {matrix} \ mathbb {N} ^ \ mathbb {N} & \ rightarrow & \ {0,1 \} ^ {\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}} & (a) \ \ & \ rightarrow & \ {0,1 \} ^ \ mathbb {N} & (b) \\ & \ rightarrow & \ wp (\ mathbb {N}) & (c) \\ & \ rightarrow & \ mathbb { N} ^ \ mathbb {N} y (d) \ end {matriz} [/ math]

(a) se proporciona asignando [math] f: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N} [/ math] a [math] g: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ rightarrow \ {0,1 \} [/ math] que satisface [math] g (a, b) = 1 \ Leftrightarrow f (a) = b [/ math];

(b) toma una biyección [matemática] p: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N} [/ math] (de la que probablemente tenga conocimiento de la existencia) y la usa para tomar [math] g: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ rightarrow \ {0,1 \} [/ math] a [math] h = g \ circ p: \ mathbb {N} \ rightarrow \ {0,1 \} [/ matemáticas];

(c) simplemente identifica [math] h: \ mathbb {N} \ rightarrow \ {0,1 \} [/ math] con un subconjunto [math] A \ subseteq \ mathbb {N} [/ math] interpretando [math ] h [/ math] como una función de indicador, es decir, [math] A = \ {a \ in \ mathbb {N} | h (a) = 1 \} [/ math];

y (d) simplemente toma la función del indicador [math] A \ subseteq \ N [/ math] y expande su codominio a todo [math] \ N [/ math], es decir, asigna [math] A [/ math] a la [matemática] f: \ N \ rightarrow \ N [/ matemática] que tiene [matemática] f (a) = 1 [/ matemática] si [matemática] a \ en A [/ matemática], de lo contrario [matemática] f ( a) = 0 [/ matemáticas].

Ahora sospecho que millones de usuarios de Quora realizan reuniones masivas regulares para ponerse de acuerdo sobre cómo entender mejor la noción de infinito. Para todos ustedes, tengo que reiterar: ¡ Infinito no es un número! La conspiración de Quora parece estar más de acuerdo en que uno debe ser lo más impreciso posible, de modo que pueda escribir cosas como “Infinito + infinito es infinitamente contable”.

Si hay una pregunta enterrada aquí que tiene sentido , es la siguiente:

Si [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] son ​​contables conjuntos infinitos, entonces ¿cuál es la cardinalidad del conjunto [matemáticas] A ^ B [/ matemáticas]?

Incluso si [math] A [/ math] es finito, el conjunto [math] A ^ B [/ math] no será contable; esto se puede mostrar por diagonalización. Entonces, a fortiori , sostiene que cuando [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son ​​conjuntos infinitamente contables, el conjunto [matemática] A ^ B [/ matemática] será incontable.

Eso depende de si hablas de números ordinales o números cardinales. La exponenciación se define de manera diferente aquí.

Si observa [math] \ omega [/ math], el ordinal infinito más pequeño (que es contable, de hecho es el conjunto de todos los números naturales), [math] \ omega ^ \ omega [/ math] resulta es esencialmente el conjunto de todas las secuencias finitas de números naturales, ordenadas lexicográficamente, y este conjunto es contable.

Si observa [math] \ aleph_0 [/ math], el cardenal infinito más pequeño (que incidentalmente es el conjunto de todos los números naturales nuevamente), entonces, por definición de potencias de números cardinales, [math] \ aleph_0 ^ {\ aleph_0} [/ math] es el conjunto de todas las secuencias de números naturales (es decir, funciones de [math] \ aleph_0 [/ math] en sí mismo), que obviamente es incontable.

Aritmética ordinal
número cardinal

Deje que [math] \ aleph_0 [/ math] represente, como de costumbre, el infinito contable. Ese es el cardinal infinito más pequeño, la cardinalidad de los números naturales.

Como mencionas, [math] \ aleph_0 + \ aleph_0 [/ math] y [math] \ aleph_0 \ cdot \ aleph_0 [/ math] ambos son iguales a [math] \ aleph_0 [/ math]. Además, para cualquier número finito [math] n [/ math], [math] (\ aleph_0) ^ n = \ aleph_0 [/ math].

Sin embargo, [math] 2 ^ {\ aleph_0} [/ math] y [math] \ aleph_0 ^ {\ aleph_0} [/ math] ambos son incontables y, de hecho, iguales. Bajo la hipótesis del continuo, son iguales al siguiente cardenal [math] \ aleph_1 [/ math].

Georg Cantor (1845-1918) inventó números cardinales infinitos, también números cardinales transfinitos. El número cardinal son los tamaños de los conjuntos. Si un conjunto es finito, entonces su tamaño, o cardinalidad, es un número finito como 0, 1, 2, 3, etc. Cantor descubrió que los conjuntos infinitos vienen en diferentes tamaños. Definió la aritmética de los números cardinales que extiende la aritmética de los números finitos.

Ya hay varias respuestas aquí que responden a la pregunta cuando el infinito se interpreta como [math] \ aleph_0 [/ math] y la exponenciación se interpreta como exponenciación cardinal. Hay otra forma estándar de interpretar la pregunta, donde entendemos que el infinito es un ordinal infinitamente contable (usaré [math] \ omega [/ math], el menor de estos ordinales) y la exponenciación es la exponenciación ordinal.

En esta configuración, tenemos que [math] \ omega ^ \ omega = \ sup_ {n \ in \ mathbb {N}} \ omega ^ n = \ bigcup_ {n \ in \ mathbb {N}} \ omega ^ n [ /matemáticas]. La exponenciación finita funciona para los ordinales al igual que para los números regulares (por ejemplo, [math] \ omega ^ 5 [/ math] es [math] \ omega [/ math] multiplicado por sí mismo 5 veces), pero la multiplicación para ordinales infinitos es un un poco funky Sin embargo, el producto de dos ordinales contables siempre es contable, por lo que un argumento de inducción rápida muestra que [math] \ omega ^ n [/ math] es contable para todos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math]. Entonces tenemos que [math] \ omega ^ \ omega [/ math] es una unión contable de conjuntos contables, y por lo tanto es un conjunto contable, en oposición a los incontables [math] 2 ^ {\ aleph_0} [/ math] .

Como otros han dicho, debes tener cuidado al hacer una pregunta sobre “infinito”, ¡ya que la respuesta podría depender de qué tipo de infinito quieres decir!

Hay varias formas matemáticamente precisas de tratar la noción de “infinito”, utilizada como sustantivo. Sin elegir uno de estos significados precisos, su pregunta no tiene sentido.

Si no sabes lo suficiente como para elegir a cuál de estos te refieres, no uses “infinito” como sustantivo . Usa el adjetivo “infinito” para tratar la pregunta matemática real que tienes delante.