Supongo que no está familiarizado con la topología, por lo que le daré una breve introducción a la idea de una función continua entre dos espacios topológicos.
Primero debemos responder a la pregunta ¿Qué es un espacio topológico? Comencemos dándonos un conjunto [matemática] X [/ matemática] y consideremos todos sus subconjuntos, es decir, todos los conjuntos [matemática] U \ subconjunto P (X) [/ matemática] donde [matemática] P (X) [/ math] es el conjunto de potencia de [math] X [/ math]. Ahora elegiremos cualquier colección [math] \ mathcal {O} [/ math] de los subconjuntos de [math] X [/ math] de manera que se cumplan los siguientes axiomas:
- [math] \ varnothing \ in \ mathcal {O} [/ math] y [math] X \ in \ mathcal {O} [/ math]
- La unión [math] \ bigcup_ {i \ in I} U_i [/ math] de cualquier colección de subconjuntos de [math] \ mathcal {O} [/ math] es un elemento de [math] \ mathcal {O} [/ matemáticas].
- La intersección [matemática] U \ bigcap U ‘[/ matemática] de cualquiera de los dos elementos [matemática] U, U’ [/ matemática] de [matemática] \ matemática {O} [/ matemática] es un elemento de [matemática] \ matemáticas {O} [/ matemáticas].
En este caso, llamamos a [math] \ mathcal {O} [/ math] una topología y los elementos de los conjuntos abiertos [math] \ mathcal {O} [/ math]. El espacio [math] X [/ math] equipado con [math] \ mathcal {O} [/ math] es un espacio topológico.
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Ahora démonos dos espacios topológicos [matemática] (X, \ mathcal {O}) [/ math] y [math] (Y, \ mathcal {O ‘}) [/ math]. Deje que [math] f: X \ to Y [/ math] sea una función entre los espacios.
Decimos que [math] f [/ math] es continuo si y solo si para cada conjunto abierto [math] U ‘\ in \ mathcal {O’}, f ^ {- 1} (U ‘) \ in \ mathcal { O} [/ matemáticas]. Es decir, si el inverso de cada conjunto abierto relativo a [math] f [/ math] en el codominio es un conjunto abierto en el dominio. De hecho, si tenemos dos espacios métricos equipados con la topología habitual (que es inducida por su métrica), esta definición es equivalente a la que aprenderá en el cálculo.
Ahora consideremos una función continua biyectiva [matemática] f: X \ a Y [/ matemática]. Está claro que existe una función inversa [matemática] f ^ {- 1} [/ matemática] de [matemática] f [/ matemática]; sin embargo, la función [matemática] f ^ {- 1} [/ matemática] no es necesariamente continua. Esto se debe al hecho de que no todas las topologías son tan “suaves”. Si la función y su inversa son continuas, decimos que [math] f [/ math] es bicontinosa, un homeomorfismo o un mapeo topológico, siendo el último raramente utilizado.
Si existe un homeomorfismo entre dos espacios topológicos [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática] decimos que estos espacios son homeomórficos o topológicamente equivalentes ya que poseen una estructura similar.
Es posible que esté familiarizado con el chiste matemático de que un topólogo no conoce la diferencia entre su taza de café y una dona. Esto se debe a que una “taza” y una “rosquilla” (o un toro si van por nombres técnicos) son homeomorfas. Más generalmente, dos objetos geométricos son homeomórficos si su género es el mismo, es decir, tienen el mismo número de “agujeros”. Por supuesto, los espacios topológicos pueden ser muy abstractos y complicados en comparación con formas geométricas simples como el toro. Cuando Ahlfors se refiere a una función como un mapeo topológico, puede estar seguro de que los dos espacios tienen muchas propiedades comunes, como la compacidad.
homeomorfismo | matemáticas
Crédito GIF: Homeomorfismo – Wikipedia / 25.10.2016
