“ver que f depende de t” – Creo que esta es la parte en la que te confundes. La función [math] f [/ math] no depende de ningún parámetro de tiempo; es una función en el espacio subyacente [matemática] X [/ matemática] solamente. El tiempo es representado (discretamente) por el operador [matemática] T [/ matemática] que es una transformación [matemática] T: X \ a X [/ matemática]. Debería pensar que [math] X [/ math] representa todas las configuraciones posibles de un sistema físico, [math] f [/ math] es alguna función de esas configuraciones y [math] T [/ math] como una descripción de cómo El sistema evoluciona en una unidad de tiempo, asignando cada estado del sistema a otro estado.
Entonces sí, el promedio espacial de [math] f [/ math] es (por definición) independiente del tiempo. El punto del teorema es que puede determinar ese promedio seleccionando un solo punto [matemáticas] x \ en X [/ matemáticas] y persiguiéndolo de acuerdo con el operador de evolución de tiempo [matemáticas] T [/ matemáticas], es decir, mirando [matemáticas] x, T (x), T (T (x)), T (T (T (x))), \ ldots [/ matemáticas]. Encuentre los valores de [math] f [/ math] en estos puntos particulares y tome el promedio; a medida que hace esto para más y más pasos de tiempo, se acerca cada vez más al promedio espacial siempre que la transformación [matemática] T [/ matemática] sea ergódica.
Por ejemplo, si [math] T [/ math] no hace nada en absoluto, lo que significa [math] T (x) = x [/ math] para todo [math] x [/ math], no hay forma posible de que el promedio espacial sería igual al promedio de tiempo: en lugar de tomar puntos de muestreo en el espacio, está mirando el valor de [math] f [/ math] solo en un solo punto. Una transformación ergódica es aquella que codifica los estados de manera tan efectiva que para la mayoría de las elecciones iniciales de [matemáticas] x [/ matemáticas], el promedio de tiempo tenderá al promedio espacial.
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Uno de los ejemplos más simples a tener en cuenta es [matemática] X = [/ matemática] un círculo, [matemática] f [/ matemática] es alguna función de valor real en el círculo, y [matemática] T [/ matemática] es rotación del círculo por algún ángulo [matemática] \ theta [/ matemática]. Puede ver intuitivamente que si [matemática] \ theta [/ matemática] es, por ejemplo, [matemática] 2 \ pi / 7 [/ matemática], entonces los promedios de tiempo están muestreando [matemática] f [/ matemática] en solo 7 puntos , y no debe esperar obtener la igualdad entre esos promedios degenerados y la integral de [math] f [/ math] en todo el círculo. Sin embargo, si [math] \ theta [/ math] es un múltiplo irracional de [math] 2 \ pi [/ math], entonces seguir un punto crea una secuencia infinita de puntos diferentes, muestreando el círculo como una densa capa de polvo. Ahora parece razonable (y, de hecho, es cierto) que los promedios sobre esos puntos estarán muy cerca de la verdadera integral de la función en todo el círculo.
Espero que tenga sentido, de alguna manera.
