¿Por qué es posible trabajar con problemas dimensionales como si fueran no dimensionales y no produjeran contradicciones?

No estoy 100% seguro de entender su pregunta, pero como A2A, trato de responder.
Hay dos aspectos; física y matemática. Si se enfrenta a un problema físico, se enfrenta a una situación física, intenta descubrir cómo abordarlo y escribe algunas ecuaciones. Una vez que esto se hace de manera coherente con la realidad en juego, puede olvidarse de todas las dimensiones de los símbolos que está utilizando y hacer algunos cálculos, álgebra, etc., o puede llevar todo de manera consistente todo el tiempo.
Hagas lo que hagas, siempre que seas minucioso, debería ir bien, y los números finales siempre deberían corresponder al sistema SI.

En realidad, supongo que la otra pregunta que podría haber formulado hubiera sido: darme ejemplos donde soltar unidades al principio en el cálculo y reinstalarlas solo al final, produce una contradicción física.
El ejemplo dado por Giordon Stark es bueno: un infinitesimal tiene una dimensión, por ejemplo. Hay muchos en realidad, por desgracia para nosotros! 😀
Tengo muchos ejemplos en los que he estado luchando toda una tarde para recuperar el valor físico correcto de un resultado que obtuve a través de cálculos bastante largos …

En general, esto no es cierto. La mayoría de los físicos solo juegan rápido y suelto con unidades y dimensiones si todos están “estandarizados”, por lo que solo se ocupan de las matemáticas. De lo contrario, hay que tener cuidado al traducir todo. Puede ver esto en ecuaciones donde la relatividad especial podría escribirse como:
[matemáticas] E = m \ qquad m ^ 2 = E ^ 2 – p ^ 2 [/ matemáticas]
en unidades particulares, o
[matemáticas] E = mc ^ 2 \ qquad m ^ 2 c ^ 4 = E ^ 2 – p ^ 2 c ^ 2 [/ matemáticas]

En particular, nos preocupamos mucho por las operaciones que son “unitarias” en el sentido de que no afectan la dimensionalidad del problema. Esto hace que algunas de las matemáticas sean más fáciles. Cuando analizamos el manejo de unidades con diferenciación e integración, debemos tener un poco de cuidado al dejar caer una unidad o agregar una unidad dependiendo de lo que se integre (para ser pedante, el infinitesimal podría tener una dimensión).

Generalmente porque, cuando resuelve un problema usando ecuaciones, las dimensiones ya están establecidas para usted.

Por ejemplo, la ecuación E = mc ^ 2 siempre pide una masa m en kg y siempre devuelve la energía E en julios. No importa lo que inserte en la ecuación, las dimensiones siempre se ajustan.

Esto también significa que usar dimensiones en cálculos separados es un buen método para verificar su respuesta final.

La forma en que me enseñaron a hacer matemáticas fue:
a) Expresar las verdades físicas descritas en el problema como una serie de ecuaciones. (Por lo general, la parte difícil, y aquí es donde ayuda el análisis dimensional).
b) Realice las matemáticas (que generalmente se traducen en “resolver esa ecuación diferencial”).
c) Traduce lo que tienes al mundo real nuevamente. (Esto generalmente será sencillo porque en a) arriba ya has hecho el trabajo duro con “Deja que A [matemática] m ^ 2 [/ matemática] sea el área de la región que se encuentra, en …” y al final tendrá un resultado “A = … (sea lo que sea)”.

Aparte del paso a) no debería preocuparse por las dimensiones.

Tengo que admitir que hago lo mismo. Me distraería con las unidades. Normalmente calculo esos valores numéricos y luego calculo las unidades como un cheque.

Los números son cantidades físicas, las unidades son una cualidad.

No hay ninguna razón por la que no debería funcionar, en efecto, está dividiendo el número, puede conducir a Matemáticas descuidadas, pero si eso es con lo que se siente cómodo, continúe haciéndolo.

Ya tienes algunas buenas respuestas, pero como me pidieron que contestara, agregaré las mías.

La respuesta es: presumes una premisa falsa. NO siempre es posible hacerlo. Por el contrario: no puedes entender algunos temas clave de la física hasta que te das cuenta de que hay sorpresas en las unidades. ¿Por qué, por ejemplo, hay tantas formas diferentes de elegir unidades para E&M clásica? ¿Por qué las unidades de entropía resultan ser Joules / Kelvin en física, pero un número puro en teoría de la información? Ambos cuentan números puros (de macro / microestados). Sin embargo, uno obtiene Joules / Kelvin, y el otro sigue siendo un número puro.