¿Cuál es el significado de los vectores de gradiente?

La cola se encuentra en algún lugar de tu espacio. La cabeza apunta directamente “cuesta arriba”

o “hacia el calor” o “en la dirección más [matemática] f (\ vec {x}) [/ matemática]”.

(Una hermosa representación de una forma de 1 por Robert … • ver las cosas de manera diferente)

La idea de un campo escalar es que tiene un gran espacio [math] \ ni \ vec {x} [/ math] con un solo número [math] f (\ vec {x}) [/ math] (el escalar) asignado a cada punto en el espacio.

Ese número podría ser el estado físico o la temperatura o el beneficio o la calidad del aire o los niveles de cromo en el agua o lo que sea que esté persiguiendo.

(Derivado ≠ Pendiente)
Luego, si toma diferencias entre los escalares en los puntos vecinos, obtendrá un campo vectorial. (NB: observe que hay dos formas de tomar diferencias. Puede mover la cabeza del vector manteniendo la cola donde está, o puede mover la cola manteniendo la cabeza donde está. Depende de usted, pero hay diferentes palabras para cada uno .)

Una idea importante para el aprendizaje automático es que el descenso de gradiente lo lleva a los máximos locales, pero no son necesariamente globales. Si estaba nadando en el océano frío y solo nadaba en la dirección donde el agua se estaba calentando, “eventualmente” (si los puntos cálidos permanecían quietos) encontraría un lugar no más frío. Pero tendrías que aventurarte a través de un poco de agua fría para probar todos los puntos cálidos y ver cuál era el más cálido.

La evolución también funciona a través de máximos locales.

PS Mutatis mutandi, mínimo puede ser sustituido por máximo.

El gradiente es la tasa de cambio multidimensional de una función dada.

“El vector gradiente es un representante de dichos vectores que dan el valor de diferenciación (significa característica de la curva en términos de valor creciente y decreciente en 3 o múltiples dimensiones) en toda la dirección de 360 ​​° para el punto dado en la curva”

Sabemos que la representación vectorial está en forma de vector unitario de x, y, z. Para que un vector esté siempre compuesto de componentes x, y, z Así se puede aplicar el mismo método para el gradiente Pero en este caso los componentes x, y, z son un poco diferentes Primero tome la proyección de la curva tridimensional dada [z = f (x, y)] en el plano x, z para que signifique constante y. Ahora tome la diferenciación de a = f ‘(x) en constante y. Entonces, esta ‘a’ es ‘x’ componente del vector de gradiente (por lo que la diferenciación parcial no es más que diferenciar en el plano de curva proyectado). Siguiendo este método y, z se pueden obtener ambos

Aquí hay un video para la visualización de lo anterior

Si tomamos un producto de punto entre el gradiente y el vector, podemos obtener la característica de aumento o disminución de la curva en la dirección x por producto de punto. Entonces, si queremos obtener la característica de aumento o disminución en la dirección (x, y, z) por su producto de punto con gradiente http: // vector, entonces, en base a esto, podemos decir que hemos convertido toda la característica del sistema de forma escalar a la forma vectorial.

Véase también: Cálculo vectorial: comprensión del gradiente

● No tengo idea sobre el aprendizaje automático, pero intentaré dar esta respuesta matemáticamente

En primer lugar, el significado físico del vector gradiente es:

“El vector gradiente es un representante de tales vectores que dan el valor de diferenciación (significa característica de la curva en términos de valor creciente y decreciente en 3 o multidimensionales) en toda la dirección de 360 ​​° para el punto dado en la curva”

• Sabemos que la representación vectorial está en forma de ijk.
• Para que un vector siempre esté compuesto de componentes x, y, z
• Por lo tanto, se puede aplicar el mismo método para el gradiente
• Pero en este caso los componentes x, y, z son un poco diferentes
• Primero tome la proyección de la curva tridimensional dada [z = f (x, y)] en el plano x, z para que signifique constante y. Ahora tome la diferenciación de a = f ‘(x) en constante y. Entonces, esta ‘a’ es el componente ‘x’ del vector de gradiente (por lo que la diferenciación parcial no es más que diferenciación en el plano de curva proyectado)
• Siguiendo este método, se pueden obtener ambos.

Aplicación y significado:

• Si tomamos un producto de punto entre el gradiente y el vector (1,0,0) podemos obtener la característica de aumento o disminución de la curva en la dirección x (※ basado en la propiedad básica del producto de punto)
• Entonces, si queremos obtener la característica de aumento o disminución en la dirección (x, y, z) podemos hacerlo por su producto de punto con vector de gradiente.
• Basándonos en esto, podemos decir que hemos convertido toda la característica del sistema de la forma escalar a la forma vectorial

• Así que ahora hemos entrado en el área de flujo, verde, tormenta de divergencia que es ampliamente utilizada en el campo de la ingeniería.

Proporcionan una dirección para los algoritmos de muestreo de parámetros en problemas de optimización.

Sin embargo, el problema es quedarse atascado en los mínimos locales.