¿Qué significa la ecuación de Dirac?

Ya hay una respuesta realmente excelente escrita aquí, así que intentaré enfocarme en un ángulo diferente (algo técnico) que complemente la información que ya ha mencionado en lugar de repetirla.

La ecuación de Dirac se puede escribir como [matemáticas] p ^ {\ mu} \ gamma _ {\ mu} \ psi = m \ psi [/ matemáticas] (las convenciones de signos pueden variar entre los autores) que se pueden escribir de manera concisa como [matemáticas] \ recortado {p} \ psi = m \ psi [/ math] donde p es el operador de 4 momentos y recortarlo / contraer un vector 4 con gammas significa esencialmente ver un vector 4 como elemento del álgebra de clifford.

Por lo tanto, lo que realmente significa la ecuación de Dirac es esto: el momento 4 (que se transforma como un vector 4), cuando se expresa en el álgebra de Clifford, actúa como un escalar en estados propios de masas. Es decir, podemos sacar la raíz cuadrada del operador Klein-Gordon sin elegir un marco de referencia preferido.

Sin embargo, esto no es específico de la ecuación de Dirac, pero es un principio general para construir ecuaciones de campo relativistas para partículas fundamentales con espín. Sigue presionando el requisito de que la ecuación de campo es lorentz invariante.

En ese caso, hay un número limitado de opciones posibles para las ecuaciones de campo de primer orden que obedecen a la ecuación de Klein-Gordon que están determinadas únicamente por la teoría de la representación del grupo de Lorentz. La ecuación de Dirac es un caso. Las ecuaciones de Maxwell son otra. De hecho, la expresión para la ecuación de Dirac anterior le dará precisamente las ecuaciones de Maxwell en el vacío como una ecuación única, si en lugar de un campo spinor, inserta el tensor de campo electromagnético contraído con gammas y establece el término de masa en cero.

La ecuación de Dirac es la descripción relativista de un electrón. La descripción no relativista de un electrón se describe mediante la ecuación de Pauli-Schroedinger. El electrón no relativista tiene dos estados de espín y decimos que es una ecuación de dos componentes. Dirac demostró que no existe una versión relativista de la ecuación de Pauli-Schroedinger que tenga dos componentes y que el análogo relativista mínimo es una ecuación de cuatro componentes. [1] Los otros componentes adicionales (o grados de libertad) en la ecuación de Dirac son las antipartículas como estados.

La ecuación de Dirac es
(⃗Α⋅⃗pc − βmc2) ψ = iℏ∂tψ [matemáticas] (α → ⋅p → c − βmc2) ψ = iℏ∂tψ [/ matemáticas]
donde ⃗α [matemáticas] α → [/ matemáticas] y β [matemáticas] β [/ matemáticas] son ​​matrices cuadradas de cuatro dimensiones.

Existe un procedimiento formal conocido como la transformación de Foldy-Wouthuysen para tomar sistemáticamente el límite no relativista y obtener la ecuación de Pauli-Schroedinger. La transformación Foldy-Wouthuysen permite mostrar que el momento magnético del electrón es un magneton de Bohr, el doble de la expectativa ingenua de la mitad de un magneton de Bohr. También surge el acoplamiento giro-órbita, así como el término Darwin.

Una de las características más notables de la ecuación de Dirac surge porque es lineal en los momentos espaciales. Esto significa que el operador de velocidad
⃗V = ddt⃗x = iℏ [H, x] = ⃗αc [matemáticas] v → = ddtx → = iℏ [H, x] = α → c [/ matemáticas]
Por lo tanto, los valores posibles para la velocidad son el espectro de valores propios de αc [matemática] αc [/ matemática] que es ⟨v⟩ = ± c [matemática] ⟨v⟩ = ± c [/ matemática]. Esto significa que una partícula de Dirac siempre viaja instantáneamente a la velocidad de la luz. Parece que solo se mueve más lentamente porque fluctúa de un lado a otro en una escala de tiempo corta. Esto se conoce como zitterbewegung (“movimiento tembloroso” en alemán) y es responsable del término Darwin, que puede interpretarse como una disminución de la atracción de Coulombic cuando el electrón está dentro de la longitud de onda de Compton del protón.

[1] Cabe señalar que hay ecuaciones relativistas de dos componentes llamadas ecuación de Majorana y ecuación de Weyl; sin embargo, violan las suposiciones (correctas) que Dirac tenía, a saber, que el electrón podría acoplarse al electromagnetismo (las partículas de Majorana son neutrales) y que el electrón tenía masa (las partículas de Weyl no tienen masa)

Por favor, vea la ecuación de Dirac

Se trata de tratar de encontrar una ecuación como la ecuación de Schroedinger para describir un electrón, pero a diferencia de la de Schroedinger, tiene que ser relativistamente correcta. La descripción correcta del spin fue otro beneficio: resulta que una vez que se tiene en cuenta la relatividad, se obtienen spin y antipartículas.

El primer intento de hacer esto surgió con lo que luego se llamó la ecuación de Klein-Gordon, que tenía algunos problemas cuando se aplicaba a los electrones. La “solución” a los problemas fue reemplazar los escalares con vectores, vectores con spinors y dar un nuevo significado a los operadores, para que pueda sacar la raíz cuadrada de uno.

Este fue uno de los problemas con KGE: para evitar tomar la raíz cuadrada de un operador, simplemente se ocupó de los cuadrados. Y no tenía una buena manera de explicar o eliminar las energías negativas.

Es una ecuación que describe la dinámica de un campo fermiónico spin-1/2 masivo en una teoría invariante de Lorentz , es decir, una que es relativista . Ejemplos de tales fermiones en la naturaleza incluyen las diversas generaciones de electrones, positrones, neutrinos y quark.

Todas las partículas, bosones y fermiones obedecen la ecuación de Klein-Gordon, que es la forma relativista de la ecuación de Schrödinger. Los bosones son los portadores de la fuerza y ​​los fermiones son las partículas de materia que sienten las fuerzas. La ecuación de Dirac es como la raíz cuadrada de la ecuación KG, y es obedecida solo por los fermiones. Los bosones no lo obedecen. Obedecer la ecuación de Dirac garantiza automáticamente la obediencia a la ecuación de KG, pero no al revés.