Interesante pregunta. Depende de lo que quieras decir con intuitivo, por supuesto. Al final, creo que todo se reduce a preguntar si hay una razón intuitiva por la que [math] \ displaystyle \ oint_ {| z | = r} \ dfrac {dz} {z} = 2 \ pi i [/ math] para cualquier [matemática] r> 0 [/ matemática] (razonamiento a continuación).
Uno podría simplemente parametrizar y calcular esta integral, por supuesto. Pero la única otra forma en que puedo pensar en sugerir por qué tiene el valor [math] 2 \ pi i [/ math] es decir que nos gustaría calcularlo como una diferencia de dos logaritmos, como [math] \ log ( z) [/ math] es una hormiga derivada de [math] z ^ {- 1} [/ math], pero ninguna rama del registro (complejo) puede ser analítica en [math] | z | = r [/ math ], así que realmente no podemos hacer esto. Sin embargo, si imagina comenzar en algún punto del círculo (p. Ej., [Matemática] z = r [/ matemática]) y rodear el origen en sentido antihorario, el valor del logaritmo de valores múltiples aumentará en [matemática] 2 \ pi i [/ math] para cuando regrese al punto de inicio, entonces la diferencia en los valores de la no-realmente-una antiderivada de [math] z ^ {- 1} [/ math] en los puntos finales de el contorno es [matemática] 2 \ pi i [/ matemática].
Entonces, ¿por qué el teorema del residuo se reduce a [matemáticas] \ oint_ {| z | = 1} z ^ {- 1} \, dz = 2 \ pi i [/ matemáticas]? Omitiendo todas las pruebas, considere una función analítica [matemática] f [/ matemática] con una singularidad aislada en [matemática] z = z_0 [/ matemática]: queremos mostrar que [matemática] \ oint_ \ gamma f (z) \, dz = 2 \ pi i \ operatorname {Res} _ {z = z_0} (f) [/ math] para un contorno cerrado simple [math] \ gamma [/ math] que contiene [math] z_0 [/ math] y ningún otro singularidad de [matemáticas] f [/ matemáticas].
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En primer lugar, observamos que, por un corolario del teorema de Cauchy-Goursat, podemos deformar el contorno en un círculo pequeño centrado en [matemáticas] z_0 [/ matemáticas] sin cambiar su valor, como hemos supuesto [matemáticas] f [/ matemáticas ] es analítico en un vecindario pinchado de [math] z_0 [/ math].
Luego, considerando la serie Laurent de [matemáticas] f [/ matemáticas], si integramos este término por término (como podemos hacerlo por las propiedades estándar de las series de potencia), el único término que sobrevive es el término con [matemáticas] (z-z_0 ) ^ {- 1} [/ math] – en realidad podemos integrar todos estos términos, o usar Cauchy-Goursat en los poderes positivos. Así tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ oint_ \ gamma f (z) \, dz = \ oint_ {| z-z_0 | = r} \ dfrac {b_1} {z-z_0} \, dz [/ math]
donde [math] b_1 [/ math] es, por definición, el residuo. Pero esta última integral es solo [matemática] b_1 [/ matemática] veces [matemática] \ oint_ {| z | = r} z ^ {- 1} \, dz [/ matemática] si hacemos una sustitución simple. Voila
