A medida que se transporta en paralelo infinitesimalmente un vector base [math] \ partial_ {i} [/ math] a lo largo de un vector base [math] \ partial_ {j} [/ math] se rota en una mezcla de vectores base [math] \ Gamma ^ {k} _ {ij} e_ {k} [/ matemáticas]. Puede escribir [math] \ nabla_i e_j = \ Gamma ^ {k} _ {ij} e_ {k} [/ math]. Es una derivada covariante de un vector base, que es una transformación lineal en vectores base. Tenga en cuenta que el contrato de k en eso, por lo que termina teniendo solo los componentes i y j. Para obtener la derivada en una dirección particular, tendría que contraerse con otro vector, lo que daría como resultado un solo índice más bajo.
En términos de geometría diferencial general, los símbolos de Christoffel son los coeficientes de conexión de la conexión Levi-Cevita, que es la conexión “inducida” por la métrica. Lo anterior es lo que obtienes cuando incluyes los requisitos de ” compatibilidad métrica “: el derivado covariante de la métrica es 0, que es realmente la definición de la conexión Levi Cevita: proporciona transportes paralelos sin métrica y “sin torsión ” – que es simétrica, más o menos, o que el Bracket de Lie de los campos vectoriales no recoge un término de torsión de la no simetría de la métrica. Puede derivar la versión más familiar escrita en términos de derivadas de la métrica, [matemáticas] \ Gamma ^ {i} _ {kl} = \ frac {1} {2} g ^ {im} (g_ {mk, l} + g_ {ml, k} – g_ {kl, m}) [/ math], de esos requisitos.
Un símbolo de Christoffel no es un tensor. Repito: no es un tensor . Un tensor es algo espacialmente consistente / bien definido en cada marco de referencia. Un tensor recoge una matriz de cambio de base para cada índice (los vectores obtienen uno, los codificadores obtienen el inverso, las matrices obtienen uno de cada uno, etc.). Si intenta multiplicarlo por matrices de cambio de base, obtendrá algo sin sentido.
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La derivada covariante es la versión “tensorificada” de la derivada parcial, y la forma de hacerlo es agregando dos no tensores, la derivada parcial y el símbolo de Christoffel, que es una “corrección” para que todo siga siendo correcto cuando te mueves un poco lejos La derivada covariante resultante es un tensor adecuado, lo que significa que funciona en cualquier sistema de coordenadas y corresponde a una operación en la variedad abstracta sin ningún requisito de que existan coordenadas. Toda la física tiene que ser covariante (que significa “invariante de coordenadas), porque las coordenadas son arbitrarias.
Eso se entiende mejor en analogía con la versión de geometría diferencial “clásica”: geometría diferencial en superficies incrustadas como esferas y tal en 3 (bueno, no necesariamente 3, pero es más fácil de seguir en 3) espacio dimensional. En este caso: tiene una superficie bidimensional, digamos el borde de una esfera. Hay un plano tangente bidimensional, pero los vectores tangentes no necesariamente apuntan “a lo largo” de la esfera. No se curvan como una esfera, son rectas. Si tiene una curva a lo largo de la superficie de la esfera, puede tomar su derivada parcial con respecto a una de las coordenadas en la esfera en un punto y el resultado es una mezcla de vectores tangentes en ese punto. Sin embargo, si agrega una cantidad infinitesimal de esa derivada, el estilo de método de Euler, a su “punto”, no terminaría en otro punto de la esfera: se movería ligeramente fuera de ella, porque la esfera se curvaba debajo de ti y no lo explicaste.
En la geometría clásica en 3D, la derivada covariante es literalmente el vector de derivada parcial en 3D proyectado en la superficie . Es decir, el componente normal, el componente que señala “fuera de la esfera”, se elimina. Lo que queda es una derivada que no tiene conocimiento del hecho de que su esfera está incrustada en un espacio con más de dos dimensiones. Y esa derivada proyectada resulta ser proporcional a los vectores base del espacio tangente, por lo que es invariante por coordenadas.
Eso es lo que estamos haciendo en nuestros colectores tipo Minkowski en GR también. La diferencia es que la geometría (pseudo-) riemanniana descarta el proceso de incrustación, que tiene buenos efectos como permitir topologías extrañas que de otro modo no podría encajar en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Pero la lógica es la misma: es una derivada que es consistente con la variedad, independientemente de las coordenadas, ya que las coordenadas son totalmente arbitrarias y no tienen nada que ver con la geometría subyacente real que encapsula la métrica.
